Edició de «Distància»




En [[matemàtiques]], la '''distància''' entre dos punts del [[espai @euclídeo]] equival a la llongitut del segment de la [[recta]] que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la [[geometria no *euclidiana]], el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura anomenada [[geodèsica]].

En [[física]], la distància és una [[magnitut física|magnitut]] [[Escalar (física)|escalar]], que s'expressa en [[unitats de llongitut]].

== Definició formal ==
Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es definix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]]  o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions: 


* No negativitat: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math> 
* [[Simetria]]: <math>d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X</math>
* [[Desigualtat triangular]]: <math>d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X</math>
* <math>\forall x \in X : d(x,x)=0</math>.
* Si <math>x,y \in X</math> són tals que <math>d(x,y)=0</math>, llavors <math>x=y</math>.

Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina '''[[pseudodistància]]''' o '''pseudomètrica'''.

La distància és el concepte fonamental de la @Topología d'Espais Mètrics. Un [[espai mètric]] no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>.

En el cas de que tinguérem un parell <math>(X,d)</math> i <math>d</math> fora una pseudodistància sobre <math>X</math>, llavors diríem que tenim un [[espai pseudomètric]].

Si <math>(X,d)</math> és un espai mètric i <math>E \subset X</math>, podem restringir <math>d</math> a <math>I</math> de la següent forma:
<math>d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R}</math> de manera que si <math>x,y \in E</math> llavors <math>d'(x,i)=d(x,i)</math> (és dir, <math>d'=d|_{E \times E}</math>). L'aplicació <math>d'</math> és també una distància sobre <math>d</math>, i com compartix sobre <math>E \times E</math> els mateixos valors que <math>d</math>, es denota també de la mateixa manera, és dir, direm que <math>(I,d)</math> és subespai mètric de <math>(X,d)</math>.

=== Distància d'un punt a un conjunt ===

Si <math>(X,d)</math> es un [[espai mètric]], <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera:

:<math>d(x,E):= \inf \{d(x,y): y \in E\}</math>.

És de destacar les següents tres propietats:

* En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà eixa distància, puix <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, aixina que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completitut de <math>\mathbb{R}</math> i com l'image de d està acotada inferiorment per 0, queda garantisada l'existència de l'ínfim d'eixe conjunt, açò és, la distància del punt al conjunt.

* Si <math> x \in E</math> llavors <math>d(x,E)=0</math>.

* Pot ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, per eixemple si <math>x</math> és un [[punt de adheriment]] de <math>E</math>. De fet, la [[Clausura topològica|clausura]] de <math>E</math> es precisament el conjunt dels punts de <math>X</math> que tenen distància 0 a <math>E</math>.

Els casos de distància d'un punt a una recta o de distància d'un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d'un punt a un conjunt, quan es considera la distància *euclidiana. (la fòrmula de distància d'un punt a una recta està incorrecta, tracten de solucionar, per favor)

=== Distància entre dos conjunts ===

Si <math>(X,d)</math> es un espai mètric, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podem definir la distància entre els conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la següent manera: 

:<math>d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>.

Per la mateixa raó que ans, sempre está definida. Ademés <math>d(A,A)=0</math>, pero pot ocórrer que <math>d(A,B)=0</math> i sno obstant <math>A \ne B</math>. Es més, podem tindre dos conjunts tancats la distància del qual siga 0 i no obstant siguen disjunts, i fins i tot que tinguen clausura disjuntas.

Por eixample, el conjunt <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunt <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Per un costat, <math>A=\operatorname{cl}(A)</math>, <math>B=\operatorname{cl}(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por atro <math>d(A,B)=0</math>.

La distància entre dos rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància *euclidiana.

== Vejau també ==

* [[Distància de Mahalanobis]]
* [[Método dels quadrants centrats en un punt]]
* [[Desplaçament (vector)]]
* [[Trayectòria]]
* [[Recta real estesa]]
* [[Mesura de Lebesgue]]
* [[Distància d'un punt a una recta]]
* [[Distància relativa entre dos camps escalares]]

[[Categoria:Matemàtica elemental]]
[[Categoria:Llongitut]]






{{Traduït de|es|Distancia}}