Edició de «Representació decimal»

En [[matemàtiques]], la '''representació decimal''' és una manera d'escriure [[@número real]] positius, per mig de potències  del número 10 (negatives i/o positives). En el cas dels [[número natural]], la representació decimal correspon a la [[Sistema de numeració decimal|escritura en base 10]] usual; per als [[número racional]], s'obté una representació decimal ''llimitada'', o ''illimitada  periòdica'' si són [[Número periòdic|números periòdics]]; si són [[Número irracional|irracionals]], la representació decimal és ''illimitada i no periòdica''.

== Definició matemàtica ==
La representació decimal d'un [[número real]] no negatiu ''r'', és una [[expressió matemàtica]] escrita tradicionalment com una [[Série matemàtica|série]] del tipo

:<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>

a on ''a''<sub>0</sub> és un entero no negatiu, y ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … son enteros tals que 0;''a<sub>i</sub>''9 (són els cridats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ''a''<sub>''i''</sub> restants s'assumixen com 0. Si no es consideren [[0,9 periódico|secuencias infinitas de&nbsp;9's]], la representació es única.<ref>{{Obra citada
| last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth
| title = The Art of Computer Programming
| contribution = Volume 1: Fundamental Algorithms | publisher = Addison-Wesley | year = 1973
| pages = 21}}</ref>

El número definit per una representació decimal també admet la següent escritura:

:<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>

En tal cas, ''a''<sub>0</sub> és la [[part entera]] de ''r'', no necessariament entre 0 y 9, i ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, … són els dígitos que formen la [[part fraccionaria]] de ''r''.

Abdós notacions són, per definició, el [[Llímit d'una successió|llímit de la successió]]:
:<math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.


== Aproximació a número real ==
{{vt|Aproximació diofàntica}}

Tot número real pot ser aproximat al grau de precisió desijat, per mig de [[@número racional]] que posseïxen representacions decimals finites. En efecte, siga <math>x\geq 0</math>; para cada [[número natural]] <math>n\geq 1</math> hi ha un [[@Número decimal#@Número decimal exacte|@número decimal exacte]] <math>r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n</math> tal que 

:<math>r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,</math>

{{Demostració|1=Siga <math>r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}</math>, en <math>p = \lfloor 10^nx\rfloor</math>.
Llavors <math>p \leq 10^nx < p+1</math>, d'a on el resultat s'obté en dividir entre <math>10^n\ </math>. 
}}

== Cas dels números enteros ==

Tot número entero posseïx una [[Sistema de numeració|escritura natural]] en el [[sistema de numeració decimal]]. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 10<sup>0</sup> com a denominador.

== Cas dels números decimals ==

Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en ''N''  i ''n'' número entero.
Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10.
Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.

== Cas dels números racionals ==
L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma
 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' són enteros no negatius. 

{{Demostració|1=Si la expansió decimal de  ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>.

A la seua volta, si el denominador de ''x'' és de la forma 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, llavors
<math>x=\frac{p}{2^n5^m}=\frac{2^m5^np}{2^{n+m}5^{n+m}}=
\frac{2^m5^np}{10^{n+m}}</math>
para algú ''p''.
}}

== Vore també ==
* [[Sistema de numeració decimal]] | [[Notació posicional]]
* [[Número decimal]]
* [[Número periòdic]]
* [[0,9 periòdic]]
* [[IEEE 754]]
* [[Simon Stevin]] |  [[Fracció decimal]]

== Notes y referències ==
{{listaref}}

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autor=[[Tom Apostol]]|título=Mathematical analysis|edición=Segunda edición|editorial=Addison-Wesley|año=1974}}

[[Categoria:Matemàtiques]]
[[Categoria:Séries matemàtiques]]
[[Categoria:Notació matemàtica]]
[[Categoria:Terminologia matemàtica]]

{{Traduït de|es|Representación decimal}}