Edició de «Signe (matemàtiques)»



[[Archiu:PlusMinus.svg|thumb|right|150px|Els [[signes més i menys]] s'utilisen per a mostrar el signe d'un número entero, racional o real.]]
En [[matemàtiques]], la paraula '''signe''' es referix a la propietat de ser [[número positiu|positiu]] o [[número negatiu|negatiu]]. Tots els [[número entero|números enteros]] distints de [[zero]] són positius o negatius, i tenen per tant un signe. Lo mateixa ocorre per als [[número racional|números racionals]] o [[número real|reals]] no nuls (per als [[número complex|números complexos]], en canvi, no pot definir-se un signe global, sol signes per a les parts real i imaginària, ya que no són un conjunt que admeta un orde compatible en la multiplicació).

El signe d'un número es representa en els [[signes més i menys]], «+» i «−». La paraula «signe» també s'utilisa per a indicar operacions matemàtiques,  com el de l'adició (+), substracció (-), multiplicació ((x), divisió (:).

== Signe d'un número ==
{{AP|Número negatiu}}
En matemàtiques és necessari, a voltes, representar cantitats menors que [[zero]]. Existixen diversos eixemples:
*[[Temperatura]]: a zero [[graus Celsius]], 0°C, l'aigua es congela; no obstant, és possible gelar encara més el gèl o atres substàncies, i dites temperatures són per tant menors que 0°C.
*[[Altitut]]: en [[geografia]], l'altitut d'un punt es medix sobre el [[nivell de la mar]]. Algunes zones [[depressió geogràfica|deprimides]] poden estar per baix del nivell de la mar, i per tant la seua altura és menor que zero metros, 0 m.
Els números menors que zero són [[números negatius]] i per a representar-los se'ls afig el signe negatiu, que és igual al signe de la substracció:  «−».

{{definició|1=Un '''número negatiu''' es representa com un número ordinari en un signe menys davant: −1, −3/4, −53,7, etc.}}
Tots els números negatius són, puix, menors que zero: −2 < 0 , −7/2 < 0, etc. Els números majors que zero, com 1, 7, 13/5, ..., són [[números positius]], i per a distinguir-los dels negatius, quan és necessari; se'ls afig el signe  «+» davant:
{{definició|1=Un '''número positiu''' es representa com un número ordinari en un signe més davant: +4, +7/11, +21,4, etc.}}
Aixina que 5 i +5 representen el mateix número. Com els números positius són majors que zero es té que : 5 > 0;  9,4 > 0 , etc.

El '''signe d'un número''' és per tant una manera de parlar tant del [[signes més i menys|símbol]] que ho precedix, com de la propietat que tinga eixe número de ser major o menor que zero.

És habitual també distinguir entre la propietat de ser positiu i la propietat de ser no negatiu, i viceversa. Com el seu propi nom indica, un número que és no negatiu no és negatiu, per lo que o és positiu o és el zero:
{{definició|1=*Un número '''no negatiu''' és un número que o be és positiu, o be és zero.
*Un número '''no positiu''' és un número que o be és negatiu, o be és zero.}}
Una manera de representar açò és per mig dels símbols «major o igual» i «menor o igual», ≥ i ≤. Els números no negatius són majors o iguals a zero, ≥ 0; i els números no positius són menors o iguals a zero, ≤ 0.

=== Signe de zero ===
{{AP|Zero}}
El '''zero''', 0, no és un número positiu ni negatiu, ya que no és major ni menor que sí mateix. No obstant, es pot representar en signe més o menys, +0 o −0, indistintament, ya que no causa cap ambigüitat en les operacions aritmètiques.

(En alguns contexts, el signe de zero pot ser rellevant, de manera que +0 i −0 representen coses distintes. Vore [[zero en signe]].)

=== Regla de signes ===
La regla de signes resumix el comportament del producte de números positius i negatius. El producte de dos números positius és evidentment un número positiu, igualment pot argumentar-se intutivament que el producte d'un número negatiu per un positiu és negatiu. Menys intuïtiu és el fet de que el producte de dos números negatius és un número positiu. La regla de signes s'expressa per mig de quatre parts:

: <math>(+) \cdot (+) = (+)</math> (el producte de dos números positius és positiu)
: <math>(-) \cdot (-) = (+)</math> (el producte de dos números negativos és positiu)
: <math>(+) \cdot (-) = (-)</math> (el producte de un número positiu y uno negatiu es negatiu)
: <math>(-) \cdot (+) = (-)</math> (el producte de un número negatiu y uno positiu es negatiu)

== Funció signe ==
{{AP|Funció signe}}
[[Archiu:SignFunction.svg|thumb|La [[funció signe]].]]
La '''funció signe''', sgn(''x'') és una funció que només depén del signe del número sobre el que actua. Açò significa que sgn(''x'') té un cert valor per a tots els números positius, un atre cert valor per a tots els números negatius, i un atre per a zero. Més concretament, la funció signe és:

{{definició|1=<math>
   \text{sgn}(x) =
   \left \{
   \begin{array}{rcl}
      -1 & \text{si} & x < 0 \\
       0 & \text{si} & x = 0 \\
       1 & \text{si} & x > 0
  \end{array}
   \right .
</math>}}


== Existència de signe ==
El fet de que puga definir-se el signe sobre un conjunt de números que forma un [[Anell (matemàtica)|anell]] requerix que puga definir-se una [[relació d'orde#Relació d'orde total|relació d'orde total]] i conjunt de números positius (o noció de positivitat)

El signe pot definir-se sempre que puga definir-se la noció de *positividad o conjunt de números positius ''P'' que satisfà les següents condicions:

# Donats dos números ''a'' y ''b'' que perteneixen a ''P'', llavors ''a'' + ''b'' perteneixen a ''P''.
# Donats dos números ''a'' y ''b'' que perteneixen a ''P'', llavors ''a'' · ''b'' perteneixen a ''P''.
# Si <math>\scriptstyle c\in P</math> només una de les següents proposicions és vàlida:
::<math>c\in P,\qquad c = 0, \qquad -c\in P</math> 
:donde <math>-c\,</math> designa el [[element opost]] respecte a la suma.

El fet de que els número complexos no admeten un signe compatible en el definit per als números reals es reflectix que tant la suposició de que <math>\scriptstyle i\ >\ 0</math> y <math>\scriptstyle i\ <\ 0</math> conduixen a contradicció:
:Si <math>\scriptstyle 0\ <\ i</math> aço implicaría que <math>\scriptstyle 0\ <\ i\cdot i\ =\ -1</math>
:Si <math>\scriptstyle 0\ >\ i </math> entonces <math>\scriptstyle -i\ >\ 0</math> y aço implicaría que <math>\scriptstyle 0\ <\ (-i)\cdot(-i)\ =\ -1</math>
En abdós casos se obté una contradicció.

Per als [[cos finit|cossos finits]] tampoc es pot definir la noció de signe ya que en ser cíclics respecte a la multiplicació existix un ''n'' tal que:
:<math>\overbrace{a+\dots+a}^n = -a</math>
Per la primera condició que definix el conjunt dels positius, si <math>\scriptstyle a>0</math> llavors el primer termen deu ser positiu, pero por la tercera condició <math>\scriptstyle -a<0</math>, lo cual es una contradicció.

== Enllaços externs ==
{{traducido ref|en|Sign (mathematics)}}


[[Categoria:Aritmètica]]
[[Categoria:Terminologia matemàtica]]
{{Traduït de|es|Signo (matemáticas)}}