285
edicions
Canvis
sense resum d'edició
| páginas= 288
| páginas= 288
}}</ref>
}}</ref>
La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta.
La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta.
== Regla de tres simple ==
== Regla de tres simple ==
En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts ''A'' i ''B'', i coneixent un tercer valor '''X''', calculem un quart valor. '''Y'''.
En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts ''A'' i ''B'', i coneixent un tercer valor '''X''', calculem un quart valor. '''Y'''. <ref>{{cita libro
| autor= Placencia Valero, Job
| título= Compendio de matemática básica elemental
| editor=
| editorial= Editorial Tébar, S.L.
| año= 2008
| idioma= español
| isbn= 978-84-7360-294-5
| páginas= 49
}}</ref>
: <math>
\begin{array}{ccc}
A & \longrightarrow & B \\
X & \longrightarrow & Y
\end{array}
</math>
La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de '''A''' hi haurà un major valor de '''B''', i serà inversa, quan es de que, a un major valor de '''A''' corresponga un menor valor de '''B''', vejam cada u d'eixos casos.
=== Regla de tres simple directa ===
[[Archiu:Relación directa.svg|260px|right]]
La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de [[proporcionalitat]], per #lo que ràpidament s'observa que:
: <math>
\frac{B}{A} =
\frac{Y}{X} =
k
</math>
A on '''k''' és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de '''A''' li correspon un aument de '''B''' en la mateixa proporció. Que podem representar:
: <math>
\left .
\begin{array}{ccc}
A & \longrightarrow & B \\
X & \longrightarrow & Y
\end{array}
\right \}
\rightarrow \quad
Y = \cfrac{B \cdot X}{A}
</math>
i direm que: '''A''' és a '''B''' directament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''B''' per '''X''' dividit entre '''A'''.
Imaginem que se nos planteja lo següent:
{{definició|
Si necessite 8 litros de pintura per a pintar 2 habitacions, ¿quants litros necessite per a pintar 5 habitacions?
}}
Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina:
: <math>
\left .
\begin{array}{ccc}
2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\
5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros}
\end{array}
\right \}
\rightarrow \quad
Y =
\cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitacions} }{2 \; \text{habitacions} } =
20 \; litros
</math>
=== Regla de tres simple inversa ===
[[Archiu:Relación inversa.svg|260px|right]]
En la regla de tres simple inversa,<ref>{{cita libro
| apellido= Álvarez Pérez
| nombre= Antonio
| título= Enciclopedia Álvarez, 3er grado
| editor=
| editorial= Editorial Edaf, S.A.
| año= 1997
| idioma=inglés
| isbn= 978-84-414-0244-7
| página= 245
}}</ref> en la relació entre els valors se cumplix que:
: <math>
A \cdot B =
X \cdot Y =
e
</math>
a on '''e''' és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de '''A''', necessitara una disminució de '''B''', per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem:
: <math>
\left .
\begin{array}{ccc}
A & \longrightarrow & B \\
X & \longrightarrow & Y
\end{array}
\right \}
\rightarrow \quad
Y = \cfrac{A \cdot B}{X}
</math>
i direm que: '''A''' és a '''B''' inversament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''A''' per '''B''' dividit per '''X'''.
Si per eixemple tenim el problema:
{{definició|
Si 8 treballadors construïxen un mur en 15 hores, ¿quànt tardaran 5 treballadors en alçar el mateix mur?
}}
Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme).
: <math>
8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} =
5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} =
120 \; \text{hores de treball}
</math>
El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant.
Tenim per tant una relació de ''proporcionalitat inversa'', i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim:
: <math>
\left .
\begin{array}{ccc}
8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\
5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores}
\end{array}
\right \}
\rightarrow \quad
Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } =
24 \; \text{hores}
</math>
== Regla de tres composta ==
En ocasions el problema plantejat involucra més de tres cantitats conegudes, ademés de la desconeguda.<ref>{{cita libro
| autor= Placencia Valero, Job
| título= Compendio de matemática básica elemental
| editor=
| editorial= Editorial Tébar, S.L.
| año= 2008
| idioma= español
| isbn= 978-84-7360-294-5
| páginas= 50
}}</ref> Observem el següent eixemple:
{{definició|
Si 12 treballadors construïxen un mur de 100 metros en 15 hores, ¿quants treballadors es necessitaran per a alçar un mur de 75 metros en 26 hores?
}}
En el problema plantejat apareixen dos relacions de proporcionalitat al mateix temps. Ademés, per a completar l'eixemple, s'ha inclós una relació inversa i una atra directa. En efecte, si un mur de 100 metros ho construïxen 12 treballadors, és evident que per a construir un mur de 75 metros es necessitaran menys treballadors. Quan més chicotet és el mur, menys número d'obrers precisem: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat directa''. Per un atre costat, si disponem de 15 hores per a que treballen 12 obrers, és evident que disponent de 26 hores necessitarem menys obrers. En aumentar una cantitat, disminuïx l'atra: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat inversa''.
El problema s'enunciaria aixina:
{{definició|
100 metros són a 15 hores i 12 treballadors com 75 metros són a 26 hores i '''I''' treballadors.
}}
La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat dividir-ho entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que per [[grosseig]] resulten ser 6 treballadors ya que 5 treballadors no serien suficients).
Formalment el problema es planteja aixina:
: <math>
\begin{matrix}
A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\
X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y
\end{matrix}
</math>
* La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. Per un costat, la primera, que, recordem, és directa, i es resol aixina:
: <math>
\left .
\begin{matrix}
A & \longrightarrow & C \\
X & \longrightarrow & Y
\end{matrix}
\right \}
\quad \longrightarrow \quad
Y = \frac{X \cdot C}{A}
</math>
* A continuació plantegem la segona, que, recordem, és inversa, i es resol aixina:
: <math>
\left .
\begin{matrix}
B & \longrightarrow & C \\
Z & \longrightarrow & Y
\end{matrix}
\right \}
\quad \longrightarrow \quad
Y = \frac{B \cdot C}{Z}
</math>
* A continuació unim abdós operacions en una sola, anant en conte de no repetir cap terme (és dir, afegint el terme '''C''' una sola volta):
: <math>
Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z}
</math>
lo que nos dona la solució buscada.
El problema es pot plantejar en tots els térmens que es vullga, siguen totes les relacions directes, totes inverses o mesclades, com en el cas anterior. Cada regla ha de plantejar-se en sum conte, tenint en conte si és inversa o directa, i tenint en conte (açò és molt important) no repetir cap terme en unir cada una de les relacions simples.
== Eixemples ==
* Per a passar 60 [[Grau Celsius|graus]] a [[radian|radians]] podríem establir la següent regla de tres:
Ubiquem l'incògnita en la primera posició:
<math>
\begin{matrix}
180^\circ & \longrightarrow & \pi \; \text{radianes} \\
60^\circ & \longrightarrow & X \; \text{radianes}
\end{matrix}
</math>
||left}}
Açò formalisa la pregunta "¿Quants radians hi ha en 60 graus, ya que π radians són 180 graus?". Aixina tenim que:
{{equació|
<math> X = \frac{\pi \; \text{radianes} \cdot 60^\circ}{180^\circ}= \frac{\pi}{3} \; \text{radianes} </math>
||left}}
A on π és el [[Número π]].
Una tècnica útil per a recordar cóm trobar la solució d'una regla de tres és la següent: X és igual al producte dels térmens creuats (π i 60, en este cas) dividit pel terme que està creuat en X.
* Calcular quànts minuts hi ha en 7 hores. Sabem que hi ha 60 minuts en 1 hora, per lo que escrivim:
: <math>
\begin{matrix}
1 \; \text{hora} & \longrightarrow & 60 \; \text{minuts} \\
7 \; \text{hores} & \longrightarrow & X \; \text{minuts}
\end{matrix}
</math>
El resultat és:
: <math>
X =
\frac
{60 \; \text{minuts} \cdot 7 \; \text{hores}}
{1 \; \text{hora}}
= 420 \; \text{minuts}
</math>
== Referències ==
<references/>
== Bibliografia ==
# {{cita llibre
|apellidos= Varas
|nombre= Antonio
|coautores=
|editor= en la imprenta de la viuda de Ibarra
|otros=
|título= Aritmética y geometría práctica de la Real Academia de San Fernando
|edición=
|año= 1801
|editorial=
|idioma= español
|id=
|isbn=
|páginas= 106-120
|cita=
}}
# {{cita libro
|apellidos= Bils
|nombre= Benito
|coautores=
|editor= Viuda de Joaquín Ibarra.
|otros=
|título= Principios de aritmética de la Real Academia de San Fernando
|edición=
|año= 1839
|editorial=
|idioma= español
|id=
|isbn=
|páginas= 149-154
|cita=
}}
# {{cita libro
|apellidos= Contreras
|nombre= Manuel María
|coautores=
|editor= Imp. J.F. Jens
|otros=
|título= Elementos de aritmética razonada: escritos para use de los alumnos de la Escuela nacional preparatoria
|edición= 6
|año= 1884
|editorial=
|idioma= español
|id=
|isbn=
|páginas=
|cita=
}}
# {{cita libro
|apellidos=
|nombre=
|coautores=
|editor= Equipo Rosalía de Castro
|otros=
|título= Proporcionalidad y regla de tres, iniciación, Educación Primaria
|edición= 1
|año= 1997
|editorial= Editorial Escudo, S.L.
|idioma= español
|id=
|isbn= 978-84-89833-33-3
|páginas=
|cita=
}}
# {{cita libro
|apellidos= Nogueira
|nombre= Gerardo
|coautores=
|editor=
|otros=
|título= Problemas de Regla de Tres
|edición=
|año= 2003
|editorial= Imaginador
|idioma= español
|id=
|isbn= 978-98-75202-08-5
|páginas=
|cita=
}}
# {{cita libro
|apellidos= Teresa
|nombre= M. Dal
|coautores=
|editor=
|otros=
|título= 200 Ejercicios de Regla de Tres
|edición=
|año= 2004
|editorial= Imaginador
|idioma= español
|id=
|isbn= 9789875202566
|páginas=
|cita=
}}
# {{cita libro
|apellidos= Ballester Sampedro
|nombre= José Ignacio
|coautores= Ballester Sampedro, Francisco Javier. Ballester Sampedro, Sergio
|editor=
|otros=
|título= Ejercicios de proporcionalidad en secundaria
|edición= 1
|año= 2008
|editorial= Liber Factory
|idioma= español
|id=
|isbn= 978-84-9869-658-5
|páginas=
|cita=
}}
# {{cita libro
|apellidos= Margallo Toral
|nombre= José
|coautores=
|editor=
|otros=
|título= Matemáticas, 3 ESO
|edición= 1
|año= 2010
|editorial= Editorial Editex, S.A.
|idioma= español
|id=
|isbn= 978-84-9771-427-3
|páginas=
|cita=
}}
== Enllaços externs ==
* [http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00250.html Regla de Tres]
* [http://www.thatquiz.com/es/mc?GBOM1530 Regla de tres directa]
[[Categoria:Matemàtiques]]
[[Categoria:Aritmètica]]
[[Categoria:Aritmètica]]
{{Traduït de|es|Regla de tres}}