Número decimal periòdic

Un número decimal periòdic és un número racional caracterisat per tindre un periodo (sifres que es repetixen indefinidament) en la seua expansió decimal. Este periodo pot constar d'una o vàries sifres, com Les següents:

<math>

  \cfrac{1}{3} =
  0,\boldsymbol{3}\,333\dots
  \; ; \quad
 \cfrac{1}{7} =
 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots

</math>

El periodo es pot expressar escrivint un arc damunt de les sifres repetides, per eixemple:

<math>

  \cfrac{2}{3} =
  0, \overset{\frown}{6}
  \; ; \quad
  \cfrac{12}{11} =
  1, \overset{\frown}{09}

</math>

Tipos de números periòdics

• Número periòdic puro: Quan immediatament despuix de la coma hi ha una o més sifres que es repetixen.
  • Eixemple: <math>0,999\dots = 0,\bar{9}</math>
• Número periòdic mixt (també nomenat semiperiòdic): Quan despuix de la coma hi ha una o més sifres que no es repetixen, seguides per una o més sifres que sí es repetixen.
  • Eixemple: <math>1.91222\dots = 1.91 \bar{2}</math>, en donde 91 es el anteperiodo.

Fracció corresponent a un número periòdic

Una fracció pot donar un número decimal periòdic:

<math>

  \begin{array}{l}
     \cfrac{1}{9}  = 0,111111111111...\\
     \cfrac{1}{7}  = 0,142857142857...\\
     \cfrac{1}{3}  = 0,333333333333...\\
     \cfrac{2}{27}  = 0,074074074074...\\
     \cfrac{7}{12} = 0,58333333333...
  \end{array}

</math>

Donat un número periòdic en la seua representació decimal, és possible trobar la fracció que ho produïx (fracció @generatriz). Eixemple:

<math>

  \begin{array}{rcll}

      x & = & 0,333333\ldots\\
    10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}      \\
     9x & = & 3              & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
                                                                                 \\
      x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3}  & \text{(simplificando)}
  \end{array}

</math>

Atre eixemple:

<math>

  \begin{array}{rcl}
        x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\
     100x & = & 285,63636363\ldots \\
      99x & = & 282,78
  \end{array}

</math>

<math>

  x =
  \frac{282,78}{99} =
  \frac{28278}{9900} =
  \frac{1571}{550}

</math>

El procediment anterior és general i permet enunciar les següents regles:

• Número periòdic puro: La fracció d'un número decimal periòdic puro té:
  • numerador: la diferència entre la part anterior al periodo seguida del periodo (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic número sancer) menys la part anterior al periodo.
  • denominador: tants 9 com a sifres té el periodo

Eixemple:

<math>

  5,34\ 34\dots =
  \frac{534-5}{99} =
  \frac{529}{99}

</math>

• Número periòdic mixt: La fracció d'un número decimal periòdic mixt té:
  • numerador: la diferència entre la part anterior al periodo seguida del periodo (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic @número sancer) menys la part anterior al periodo.
  • denominador: tants 9 com a sifres té el periodo, seguits de tants 0 com a sifres té la part no periòdica.

Eixemple:

<math>

  12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
  \frac{1234567-12345}{99000} =
  \frac{1222222}{99000} =
  \frac{611111}{49500}

</math>

Tipo de número periòdic resultant

Donada una fracció irreductible (és dir, en la que numerador i denominador són primos entre sí, i per tant no es pot simplificar més) és senzill saber si correspon a un número periòdic puro, mixt, o és un decimal exacte, sense necessitat de fer la divisió:

• Si en descompondre el denominador en factors primers, estos són a soles el 2 i/o el 5, serà exacta.

Per eixemple:

<math>

  \cfrac{7}{20}

</math>

com:

<math>

  20 = 2 \cdot 2 \cdot 5

</math>

serà exacta; en efecte

<math>

  \cfrac{7}{20} =
  \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
  \cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
  \cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
  \cfrac{35}{100} =
  0,35

</math>

Atro eixemple:

<math>

  \cfrac{7}{25}

</math>

com:

<math>

   25 = 5 \cdot 5

</math>

serà exacta; en efect:

<math>

  \cfrac{7}{25} =
  \cfrac{7}{5 \cdot 5} =
  \cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
  \cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
  \cfrac{28}{100} =
  0,28

</math>

• Si en descompondre el denominador en factors primers, estos no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura:

Per eixemple:

<math>

  \cfrac{5}{21}

</math>

como:

<math>

  21 = 3 \cdot 7

</math>

serà periòdica pura; en efecte:

<math>

  \cfrac{5}{21} =
  0,238095\ 238095\ 238095\dots

</math>

• Si al descompondre el denominador en factors primos, éstos contenen al 2 ii/o al 5, i ademés algú atre factor, será periódica mixta:

Per eixemple:

<math>

  \cfrac{5}{42}

</math>

como:

<math>

  42 = 2 \cdot 3 \cdot 7

</math>

serà periòdica mixta, en efecte:

<math>

  \cfrac{5}{42} =
  0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots

</math> mas no es segur un resultat pròxim.

Vore també

• 0,9 periòdic
• Representació decimal
• Plantilla:Classificació números

Referències

• , Ediciones Umbral.
• Plantilla:MathWorld

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Número decimal periódico de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.