6408
edicions
Canvis
→Vore també
En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius [[àngul]]s oposts.
En [[trigonometria]], la '''teorema dels sens'''<ref>Pogorélov. ''Geometria elemental''. Editorial Mir, Moscou(1977)</ref> o també conegut com a '''llei dels sens''' <ref>Larson. ''Trigonometria''. ISBN 978-607-481-7-34 (2011)</ref> és una relació de [[proporcionalitat]] entre les llongituts dels costats d'un [[triàngul]] i els [[sen (matemàtiques)|sens]] dels seus respectius [[àngul]]s oposts.
Usualment es presenta de la següent forma:
Usualment es presenta de la següent forma:
{{T|Si en un triàngul ''ABC'', les mesures dels costats oposts als ànguls ''A'', ''B'' i ''C'' són respectivament ''a'', ''b'', ''c'', llavors:
{{Teorema|Si en un triángul ''ABC'', les mesures dels costats oposts als ànguls ''A'', ''B'' y ''C'' són respectivament ''a'', ''b'', ''c'', llavors:
{{Equació|<math>frac{a}{sense,A} =frac{b}{sense,B} =frac{c}{sense,C} </math>}}|títul= Teorema dels sens }}.
{{Equació|<math>\frac{a}{sen\,A} =\frac{b}{sen\,B} =\frac{c}{sen\,C} </math>}}|títul= Teorema dels sens }}
== Demostració ==
== Demostració ==
A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.
A pesar de ser dels [[teorema]]s trigonomètrics més usats i de tindre una [[demostració matemàtica|demostració]] particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.
[[Archiu:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|La teorema dels sens establix que ''a/sense(A)'' és constant.]]
[[Archiu:Ley de los senos-prueba.svg|thumb|263px|right|La teorema dels sens establix que ''a/sen(A)'' és constant.]]
Donat el triàngul ''ABC'', denotem per ''O'' el seu [[circumcentre]] i dibuixem el seu [[circumferència]] circumscrita. Prolongant el segment ''BO'' fins a tallar la [[circumferència]], s'obté un [[diàmetro]] ''BP''.
Donat el triàngul ''ABC'', denotem per ''O'' el seu [[circumcentre]] i dibuixem el seu [[circumferència]] circumscrita. Prolongant el segment ''BO'' fins a tallar la [[circumferència]], s'obté un [[diàmetro]] ''BP''.
Ara, el triàngul ''PCB'' és recte, ya que ''BP'' és un diàmetro, i ademés els ànguls ''A'' i ''P'' són congruents, perque abdós són [[àngul inscrit|ànguls inscrits]] que òbrin el segment ''BC'' (Vore definició de [[arc capaç]]). Per definició de la funció trigonomètrica [[sen (matemàtiques)|sen]], es té
Ara, el triàngul ''PCB'' és recte, ya que ''BP'' és un diàmetro, i ademés els ànguls ''A'' i ''P'' són congruents, perque abdós són [[àngul inscrit|ànguls inscrits]] que òbrin el segment ''BC'' (Vore definició de [[arc capaç]]). Per definició de la funció trigonomètrica [[sen (matemàtiques)|sen]], es té
{{Equació|<math>(sen,A)=sen,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}</math>|3=left}}
{{Equació|<math>sen,A=sen,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}</math>|3=left}}
on ''R'' és el radi de la [[circumferència]]. Rebujant ''2R'' obtenim:
on ''R'' és el radi de la [[circumferència]]. Rebujant ''2R'' obtenim:
{{Equació|<math>\frac{a}{\sen\,A} = 2R</math>|3=left}}.
{{Equació|<math>\frac{a}{sen\,A} = 2R</math>|3=left}}.
Repetint el procediment en un diàmetro que passe per ''A'' i un atre que passe per ''C'', s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor ''2R'' i per tant són iguals.
La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix:
{{t|Per a un triàngul ''ABC'' on ''a, b, c'' són els costats oposts als ànguls ''A, B, C'' respectivament, si ''R'' denota el radi de la [[circumferència]] circumscrita, llavors:
{{Equació|<math>\frac{a}{sen,A} =\frac{b}{sen,B} =\frac{c}{sen,C}=2R. </math>|3=left}}}}
== Aplicació ==
El teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i un costat opost a un d'ells. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells.
Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circumstancials, en:
* Càlcul de l'altura d'un arbre
* Trobar l'àngul d'elevació del sol
* Pla per a construcció de ponts
* Estudie i dibuix de carrils d'una autopista
* Itinerari d'un planage
* Ubicació d'un foc d'incendi
* Situació d'un transmissor de radi clandestí
* L'altitut d'una montanya i atres casos. <ref>Larson. Op. cit</ref>
== Relació en l'àrea del triàngul ==
[[Archiu:Formulas para área de un triángulo.svg|thumb|Dos fòrmules per a calcular l'àrea d'un triàngul]]
== Referències ==
<references/>
== Vore també ==
== Vore també ==
* [[Trigonometria]]
* [[Trigonometria]]
** [[Triangulació]]
** [[Triangulació]]
** [[Teorema de Pitàgores]]
** [[Teorema de Pitàgores]]
[[Categoria:Matemàtiques]]
[[Categoria:Geometria]]
[[Categoria:Trigonometria]]
[[Categoria:Teoremes de trigonometria|Sen]]
[[Categoria:Teoremes de trigonometria|Sen]]
[[Categoria:Triànguls]]
[[Categoria:Triànguls]]
{{Traduït de|es|Teorema de los senos}}
{{Traduït de|es|Teorema de los senos}}