Canvis

La '''llongitut''' és un [[geometria|concepte mètric]] definible per a entitats geomètriques sobre la que s'ha definit una distància. Més concretament donat un segment, curva o llínea finita, es pot definir la seua llongitut a partir de la noció de distància. No obstant, no deu confondre's llongitut en distància, ya que per a una curva general (no per a un segment recte) la distància entre dos punts qualssevol de la mateixa és sempre inferior a la llongitut de la curva compresa entre eixos dos punts. Igualment la noció matemàtica de llongitut es pot identificar en l'una [[magnitut física]] que determinada per la distància física.

La '''llongitut''' és un [[geometria|concepte mètric]] definible per a entitats geomètriques sobre la que s'ha definit una distància. Més concretament donat un segment, curva o llínea finita, es pot definir la seua llongitut a partir de la noció de distància. No obstant, no deu confondre's llongitut en distància, ya que per a una curva general (no per a un segment recte) la distància entre dos punts qualssevol de la mateixa és sempre inferior a la llongitut de la curva compresa entre eixos dos punts. Igualment la noció matemàtica de llongitut es pot identificar en l'una [[magnitut física]] que determinada per la distància física.

La llongitut és una de les [[Magnitut fonamental|#magnitut físiques fonamentals]], mentres que no pot ser definida en térmens d'atres magnitudes que es poden medir. En molts sistemes de mesura, la llongitut és una magnitut fonamental, de la qual deriven unes atres.<ref name=Resnick1-3>Resnick, 1993, pp.;1-3.</ref>

La llongitut és una de les [[Magnitut fonamental|magnitut físiques fonamentals]], mentres que no pot ser definida en térmens d'atres magnitudes que es poden medir. En molts sistemes de mesura, la llongitut és una magnitut fonamental, de la qual deriven unes atres.<ref name=Resnick1-3>Resnick, 1993, pp.;1-3.</ref>

La llongitut és una mesura d'una dimensió (llineal; per eixemple la [[distància]] en [[Metro|m]]), mentres que el [[àrea]] és una mesura de dos dimensions (a la garrofa; per eixemple [[metro quadrat|m²]]), i el [[volum]] és una mesura de tres dimensions (cúbica; per eixemple [[metro cúbic|m³]]).

La llongitut és una mesura d'una dimensió (llineal; per eixemple la [[distància]] en [[Metro|m]]), mentres que el [[àrea]] és una mesura de dos dimensions (a la garrofa; per eixemple [[metro quadrat|m²]]), i el [[volum]] és una mesura de tres dimensions (cúbica; per eixemple [[metro cúbic|m³]]).

== Noció matemàtica ==

== Noció matemàtica ==

La noció de llongitut es va definir en primer lloc per a segments rectes. La noció *elmental de [[distància euclídea]] va servir per a definir la llongitut d'un segment recte, com la distància entre els seus extrems. El següent pas va ser definir la llongitut d'una curva (círcul, elipse, etc), per a estes nocions existia un procediment físic que consistia en enrollar un cordell inextensible al voltant d'una figura corba, marcar cert punt sobre el ordel i estirar-ho de nou per a medir la distància recta a lo llarc del cordell.

La noció de llongitut es va definir en primer lloc per a segments rectes. La noció elemental de [[distància euclídea]] va servir per a definir la llongitut d'un segment recte, com la distància entre els seus extrems. El següent pas va ser definir la llongitut d'una curva (círcul, elipse, etc), per a estes nocions existia un procediment físic que consistia en enrollar un cordell inextensible al voltant d'una figura corba, marcar cert punt sobre el cordell i estirar-ho de nou per a medir la distància recta a lo llarc del cordell.

=== Bidimensional ===

=== Bidimensional ===

La moderna noció de llongitut es basa fonamentalment en la noció definida dins de la [[geometria diferencial de curves]]. Una atra forma més pròxima a la noció original de llongitut és l'aproximació d'una curva diferenciable per mig d'una poligonal, aixina en época d'Arquimedes ya havia segut possible determinar en molta exactitut el perímetro d'una circumferència per mig de successions de polígons inscrits i circumscrits a la circumferència. Ya que el perímetro d'un polígon pot ser determinat a partir de triànguls i, en particular, usant el [[teorema de Pitàgores]]. El desenroll del [[càlcul infinitesimal]] va permetre estendre la noció de llongitut a curves analítiques molt complicades per als quals no és senzill aplicar els métodos dels antics matemàtics grecs d'aproximació per mig de poligonals.

La moderna noció de llongitut es basa fonamentalment en la noció definida dins de la [[geometria diferencial de curves]]. Una atra forma més pròxima a la noció original de llongitut és l'aproximació d'una curva diferenciable per mig d'una poligonal, aixina en época d'Arquimedes ya havia segut possible determinar en molta exactitut el perímetro d'una circumferència per mig de successions de polígons inscrits i circumscrits a la circumferència. Ya que el perímetro d'un polígon pot ser determinat a partir de triànguls i, en particular, usant el [[teorema de Pitàgores]]. El desenroll del [[càlcul infinitesimal]] va permetre estendre la noció de llongitut a curves analítiques molt complicades per als quals no és senzill aplicar els métodos dels antics matemàtics grecs d'aproximació per mig de poligonals.

Fins al sigle XIX es va assumir que la llongitut d'una curva acotada, devia ser finita, no obstant, durant el sigle XIX matemàtics com [[Karl Weierstras]] varen trobar que existixen curves contínues que no són diferenciables en cap punt, i per tant, per als quals no està definida la noció de llongitut amprada en la geometria diferencial. Posteriorment es va demostrar que curves contínues com la [[curva de Koch]] són curves tancades que tanca un àrea finita, pero no obstant són de llongitut infinita (de fet esta curva mostra que un àrea acotada pot estar delimitada per un perímetro de llongitut infinita).

Fins al [[sigle XIX]] es va assumir que la llongitut d'una curva acotada, devia ser finita, no obstant, durant el sigle XIX matemàtics com [[Karl Weierstras]] varen trobar que existixen curves contínues que no són diferenciables en cap punt, i per tant, per als quals no està definida la noció de llongitut amprada en la geometria diferencial. Posteriorment es va demostrar que curves contínues com la [[curva de Koch]] són curves tancades que tanca un àrea finita, pero no obstant són de llongitut infinita (de fet esta curva mostra que un àrea acotada pot estar delimitada per un perímetro de llongitut infinita).

=== Tridimensional ===

=== Tridimensional ===

En coordenades cartesianes tridimensionals (eixos ''x'', ''i'' i ''z''), el «llarc», o «llongitut dimensional» sol correspondre en les [[sistema de coordenades|coordenades]] ''i'', mentres que el «ample» i el «alt» en les ''x'' i les ''z'', respectivament.<ref name=Prieto /> Donada una curva [[curva#curva suave|suave]] (diferenciable i de classe <math>C^1(\Iota)\,</math>), en <math>\mathbb{R}^3</math> y donat el seu vector de posició <math>\mathbf r(t)</math> expressat per mig del paràmetro ''t'';  

En coordenades cartesianes tridimensionals (eixos ''x'', ''i'' i ''z''), el «llarc», o «llongitut dimensional» sol correspondre en les [[sistema de coordenades|coordenades]] ''i'', mentres que el «ample» i el «alt» en les ''x'' i les ''z'', respectivament.<ref name=Prieto /> Donada una curva [[curva#curva suave|suave]] (diferenciable i de classe <math>C^1(\Iota)\,</math>), en <math>\mathbb{R}^3</math> y donat el seu vector de posició <math>\mathbf r(t)</math> expressat per mig del paràmetro ''t'';  

:<math> \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,</math>

:<math> \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,</math>

es definix el cridat [[llongitut d'arc|paràmetro d'arc]] ''s'' como:<br />

es definix el nomenat [[llongitut d'arc|paràmetro d'arc]] ''s'' como:<br />

<br />

<br />

:<math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 + \left [z'(\tau)\right ] ^2} \, d\tau </math>

:<math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 + \left [z'(\tau)\right ] ^2} \, d\tau </math>

<br />

<br />

són les relacions entre les dos parametrisacions.

són les relacions entre les dos parametrisacions.

== Noció física ==

== Noció física ==

En mecànica clàssica la noció de llongitut es va considerar una noció absoluta independent de l'observador. Ademés si be les [[geometria no euclídeo]] eren conegudes des de principi del sigle XIX, ningú va assumir sériament que la geometria de l'espai físic poguera ser una atra que la de l'espai euclídeo fins a a lo manco finals del sigle XIX. Alguns treballs dels matemàtics [[Bernhard Riemann|Riemann]], [[Henri Poincaré|Poincaré]] o  el físic [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]] varen començar a posar en dubte la noció clàssica de la llongitut com a magnitut invariant independent de l'observador.

En mecànica clàssica la noció de llongitut es va considerar una noció absoluta independent de l'observador. Ademés si be les [[geometria no euclídeo]] eren conegudes des de principi del sigle XIX, ningú va assumir sériament que la geometria de l'espai físic poguera ser una atra que la de l'espai euclídeo fins a a lo manco finals del sigle XIX. Alguns treballs dels matemàtics [[Bernhard Riemann|Riemann]], [[Henri Poincaré|Poincaré]] o  el físic [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]] varen escomençar a posar en dubte la noció clàssica de la llongitut com a magnitut invariant independent de l'observador.

Posteriorment la [[teoria de la relativitat general]] del [[Albert Einstein]] va ser la primera teoria física important que rebuja explícitament la noció de que un observador estàtic en presència de cossos físics massius puga assumir que la geometria de l'espai siga euclídeo. No obstant, encara en la teoria de la relativitat s'assumix que l'espai donat a un observador, encara que no fora globalment euclídeo sí és [[localment]] euclídeo.

Posteriorment la [[teoria de la relativitat general]] del [[Albert Einstein]] va ser la primera teoria física important que rebuja explícitament la noció de que un observador estàtic en presència de cossos físics massius puga assumir que la geometria de l'espai siga euclídeo. No obstant, encara en la teoria de la relativitat s'assumix que l'espai donat a un observador, encara que no fora globalment euclídeo sí és [[localment]] euclídeo.

Durant el sigle XX, la [[teoria quàntica de camps]] va portar fins i tot a especular sobre si la naturalea de l'espai-temps era localment euclídeo, ya que per a escales molt menudes de l'orde de la [[llongitut de Planck]] poguera donar-se el cas que la noció de distància matemàtica no estiguera ben definida, i a eixes escales els models de [[espai euclídeo]] o de [[varietat de Riemann|varietat riemanninana]] podrien ser senzillament inadequades.  

Durant el [[sigle XX]], la [[teoria quàntica de camps]] va portar inclús  a especular sobre si la naturalea de l'espai-temps era localment euclídeo, ya que per a escales molt menudes de l'orde de la [[llongitut de Planck]] poguera donar-se el cas que la noció de distància matemàtica no estiguera ben definida, i a eixes escales els models de [[espai euclídeo]] o de [[varietat de Riemann|varietat riemanninana]] podrien ser senzillament inadequades.

== Unitats de llongitut ==  

== Unitats de llongitut ==  

{{@AP|Unitats de llongitut}}

{{AP|Unitats de llongitut}}

Existixen distints tipos de  [[unitat de medida|unitats de mesura]] que són utilisades per a medir la llongitut, i unes atres que ho varen anar en el passat. Les unitats de mesura es poden basar en la llongitut de diferents parts del cos humà, en la distància recorreguda en número de passos, en la distància entre punts de referència o punts coneguts de la Terra, o arbitràriament en la llongitut d'un determinat objecte.<ref name=npl />

Existixen distints tipos de  [[unitat de medida|unitats de mesura]] que són utilisades per a medir la llongitut, i unes atres que ho varen anar en el passat. Les unitats de mesura es poden basar en la llongitut de diferents parts del cos humà, en la distància recorreguda en número de passos, en la distància entre punts de referència o punts coneguts de la Terra, o arbitràriament en la llongitut d'un determinat objecte.<ref name=npl />

En el [[Sistema Internacional d'Unitats|Sistema Internacional]] (SI), l'unitat bàsica de llongitut és el [[metro]], i hui en dia se significa en térmens de la [[velocitat de la llum]]. El ''centímetro'' i el ''quilómetro'' deriven del metro, i són unitats utilisades habitualment.<ref name=Resnick1-3 />

En el [[Sistema Internacional d'Unitats|Sistema Internacional]] (SI), l'unitat bàsica de llongitut és el [[metro]], i hui en dia se significa en térmens de la [[velocitat de la llum]]. El ''centímetro'' i el ''quilómetro'' deriven del metro, i són unitats utilisades habitualment.<ref name=Resnick1-3 />

Les unitats que s'utilisen per a expressar distàncies en l'immensitat de l'espai ([[astronomia]]) són molt més grans que les que s'utilisen habitualment en la Terra, i són (entre atres): la [[unitat astronòmica]], el [[any llum]] i el [[pársec]].<ref>{{cita web | título= RESOLUTION B2: on the re-definition of the astronomical unit of length| autor = [[Unión Astronómica Internacional|International Astronomical Union]] | ubicación = [[Pekín]] | fecha = 31 de agosto de 2012 | url = http://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf | fechaacceso= 22 de septiembre de 2012}}</ref>

Les unitats que s'utilisen per a expressar distàncies en l'immensitat de l'espai ([[astronomia]]) són molt més grans que les que s'utilisen habitualment en la Terra, i són (entre atres): la [[unitat astronòmica]], el [[any llum]] i el [[pársec]].<ref>{{cita web | título= RESOLUTION B2: on the re-definition of the astronomical unit of length| autor = [[Unión Astronómica Internacional|International Astronomical Union]] | ubicación = [[Pekín]] | fecha = 31 d'agosto de 2012 | url = http://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf | fechaacceso= 22 de septiembre de 2012}}</ref>

Per una atra part, les unitats que s'utilisen per a medir distàncies molt menudes, com en el camp de la [[química]] o la [[física atòmica]], inclouen el [[micrómetro (unitat de llongitut)|micrómetro]], el [[ångström]], el [[radie de Bohr]] i la [[llongitut de Planck]].

Per una atra part, les unitats que s'utilisen per a medir distàncies molt menudes, com en el camp de la [[química]] o la [[física atòmica]], inclouen el [[micrómetro (unitat de llongitut)|micrómetro]], el [[ångström]], el [[radie de Bohr]] i la [[llongitut de Planck]].

== Vore també ==

== Vore també ==

* [[Distància]]

* [[Distància]]

* [[Espai mètric]]

* [[Espai mètric]]

* [[Mesura de Lebesgue]]

* [[Mida de Lebesgue]]

{{Nova columna}}

{{Nova columna}}

* [[Medició]]

* [[Medició]]

{{Final columnes}}

{{Final columnes}}

== Referències ==

== Enllaços externs ==

{{listaref}}

{{Commonscat|Length}}

 

[[Categoria:Llongitut| ]]

[[Categoria:Geometria]]