Diferència entre les revisions de "Representació decimal"
m |
|||
| (No es mostren 8 edicions intermiges d'2 usuaris) | |||
| Llínea 6: | Llínea 6: | ||
:<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math> | :<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math> | ||
| − | a on ''a''<sub>0</sub> és un | + | a on ''a''<sub>0</sub> és un sancer no negatiu, y ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … son sancers tals que 0;''a<sub>i</sub>''9 (són els nomenats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ''a''<sub>''i''</sub> restants s'assumixen com 0. Si no es consideren [[0,9 periódico|secuencias infinitas de 9's]], la representació es única.<ref>{{Obra citada |
| last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth | | last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth | ||
| title = The Art of Computer Programming | | title = The Art of Computer Programming | ||
| Llínea 16: | Llínea 16: | ||
:<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math> | :<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math> | ||
| − | En tal cas, ''a''<sub>0</sub> és la [[part entera]] de ''r'', no | + | En tal cas, ''a''<sub>0</sub> és la [[part entera]] de ''r'', no necessàriament entre 0 y 9, i ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, … són els dígitos que formen la [[part fraccionaria]] de ''r''. |
Abdós notacions són, per definició, el [[Llímit d'una successió|llímit de la successió]]: | Abdós notacions són, per definició, el [[Llímit d'una successió|llímit de la successió]]: | ||
| − | :<math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>. | + | :<math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>. |
| Llínea 30: | Llínea 30: | ||
{{Demostració|1=Siga <math>r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}</math>, en <math>p = \lfloor 10^nx\rfloor</math>. | {{Demostració|1=Siga <math>r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}</math>, en <math>p = \lfloor 10^nx\rfloor</math>. | ||
| − | Llavors <math>p \leq 10^nx < p+1</math>, d'on el resultat s'obté en dividir entre <math>10^n\ </math>. | + | Llavors <math>p \leq 10^nx < p+1</math>, d'a on el resultat s'obté en dividir entre <math>10^n\ </math>. |
}} | }} | ||
| − | == Cas dels | + | == Cas dels números sancers == |
| − | Tot número | + | Tot número sancer posseïx una [[Sistema de numeració|escritura natural]] en el [[sistema de numeració decimal]]. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 10<sup>0</sup> com a denominador. |
== Cas dels números decimals == | == Cas dels números decimals == | ||
| − | Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en ''N'' i ''n'' número | + | Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en ''N'' i ''n'' número sancer. |
Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. | Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. | ||
Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal. | Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal. | ||
| − | == Cas dels | + | == Cas dels números racionals == |
| − | |||
L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma | L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma | ||
| − | 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' són | + | 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' són sancers no negatius. |
{{Demostració|1=Si la expansió decimal de ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>. | {{Demostració|1=Si la expansió decimal de ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>. | ||
| Llínea 62: | Llínea 61: | ||
* [[0,9 periòdic]] | * [[0,9 periòdic]] | ||
* [[IEEE 754]] | * [[IEEE 754]] | ||
| − | * [[Simon Stevin]] | [[Fracció decimal]] | + | * [[Simon Stevin]] | [[Fracció decimal]] |
| − | == | + | == Referències == |
{{listaref}} | {{listaref}} | ||
Última revisió del 16:25 18 abr 2024
En matemàtiques, la representació decimal és una manera d'escriure @número real positius, per mig de potències del número 10 (negatives i/o positives). En el cas dels número natural, la representació decimal correspon a la escritura en base 10 usual; per als número racional, s'obté una representació decimal llimitada, o illimitada periòdica si són números periòdics; si són irracionals, la representació decimal és illimitada i no periòdica.
Definició matemàtica[editar | editar còdic]
La representació decimal d'un número real no negatiu r, és una expressió matemàtica escrita tradicionalment com una série del tipo
- <math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>
a on a0 és un sancer no negatiu, y a1, a2, … son sancers tals que 0;ai9 (són els nomenats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ai restants s'assumixen com 0. Si no es consideren secuencias infinitas de 9's, la representació es única.[1]
El número definit per una representació decimal també admet la següent escritura:
- <math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>
En tal cas, a0 és la part entera de r, no necessàriament entre 0 y 9, i a1, a2, a3, … són els dígitos que formen la part fraccionaria de r.
Abdós notacions són, per definició, el llímit de la successió:
- <math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.
Aproximació a número real[editar | editar còdic]
Tot número real pot ser aproximat al grau de precisió desijat, per mig de @número racional que posseïxen representacions decimals finites. En efecte, siga <math>x\geq 0</math>; para cada número natural <math>n\geq 1</math> hi ha un @número decimal exacte <math>r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n</math> tal que
- <math>r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,</math>
Cas dels números sancers[editar | editar còdic]
Tot número sancer posseïx una escritura natural en el sistema de numeració decimal. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 100 com a denominador.
Cas dels números decimals[editar | editar còdic]
Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en N i n número sancer. Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.
Cas dels números racionals[editar | editar còdic]
L'expansió decimal d'un número real no negatiu x terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, x és un número racional el denominador del qual és de la forma
2n5m, donde m y n són sancers no negatius.
Plantilla:Demostració= \frac{2^m5^np}{10^{n+m}}</math> para algú p. }}
Vore també[editar | editar còdic]
- Sistema de numeració decimal | Notació posicional
- Número decimal
- Número periòdic
- 0,9 periòdic
- IEEE 754
- Simon Stevin | Fracció decimal
Referències[editar | editar còdic]
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Bibliografia[editar | editar còdic]
- Tom Apostol. , Addison-Wesley.
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Representación decimal de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.