Signe (matemàtiques)

Els signes més i menys s'utilisen per a mostrar el signe d'un número entero, racional o real.

En matemàtiques, la paraula signe es referix a la propietat de ser positiu o negatiu. Tots els números enteros distints de zero són positius o negatius, i tenen per tant un signe. Lo mateixa ocorre per als números racionals o reals no nuls (per als números complexos, en canvi, no pot definir-se un signe global, sol signes per a les parts real i imaginària, ya que no són un conjunt que admeta un orde compatible en la multiplicació).

El signe d'un número es representa en els signes més i menys, «+» i «−». La paraula «signe» també s'utilisa per a indicar operacions matemàtiques, com el de l'adició (+), substracció (-), multiplicació ((x), divisió (:).

Signe d'un número

Artícul principal → Número negatiu.

En matemàtiques és necessari, a voltes, representar cantitats menors que zero. Existixen diversos eixemples:

• Temperatura: a zero graus Celsius, 0°C, l'aigua es congela; no obstant, és possible gelar encara més el gèl o atres substàncies, i dites temperatures són per tant menors que 0°C.
• Altitut: en geografia, l'altitut d'un punt es medix sobre el nivell de la mar. Algunes zones deprimides poden estar per baix del nivell de la mar, i per tant la seua altura és menor que zero metros, 0 m.

Els números menors que zero són números negatius i per a representar-los se'ls afig el signe negatiu, que és igual al signe de la substracció: «−».

Un número negatiu es representa com un número ordinari en un signe menys davant: −1, −3/4, −53,7, etc.

Tots els números negatius són, puix, menors que zero: −2 < 0 , −7/2 < 0, etc. Els números majors que zero, com 1, 7, 13/5, ..., són números positius, i per a distinguir-los dels negatius, quan és necessari; se'ls afig el signe «+» davant:

Un número positiu es representa com un número ordinari en un signe més davant: +4, +7/11, +21,4, etc.

Aixina que 5 i +5 representen el mateix número. Com els números positius són majors que zero es té que : 5 > 0; 9,4 > 0 , etc.

El signe d'un número és per tant una manera de parlar tant del símbol que ho precedix, com de la propietat que tinga eixe número de ser major o menor que zero.

És habitual també distinguir entre la propietat de ser positiu i la propietat de ser no negatiu, i viceversa. Com el seu propi nom indica, un número que és no negatiu no és negatiu, per lo que o és positiu o és el zero:

Un número no negatiu és un número que o be és positiu, o be és zero. Un número no positiu és un número que o be és negatiu, o be és zero.

Una manera de representar açò és per mig dels símbols «major o igual» i «menor o igual», ≥ i ≤. Els números no negatius són majors o iguals a zero, ≥ 0; i els números no positius són menors o iguals a zero, ≤ 0.

Signe de zero

Artícul principal → Zero.

El zero, 0, no és un número positiu ni negatiu, ya que no és major ni menor que sí mateix. No obstant, es pot representar en signe més o menys, +0 o −0, indistintament, ya que no causa cap ambigüitat en les operacions aritmètiques.

(En alguns contexts, el signe de zero pot ser rellevant, de manera que +0 i −0 representen coses distintes. Vore zero en signe.)

Regla de signes

La regla de signes resumix el comportament del producte de números positius i negatius. El producte de dos números positius és evidentment un número positiu, igualment pot argumentar-se intutivament que el producte d'un número negatiu per un positiu és negatiu. Menys intuïtiu és el fet de que el producte de dos números negatius és un número positiu. La regla de signes s'expressa per mig de quatre parts:

<math>(+) \cdot (+) = (+)</math> (el producte de dos números positius és positiu)

<math>(-) \cdot (-) = (+)</math> (el producte de dos números negativos és positiu)

<math>(+) \cdot (-) = (-)</math> (el producte de un número positiu y uno negatiu es negatiu)

<math>(-) \cdot (+) = (-)</math> (el producte de un número negatiu y uno positiu es negatiu)

Funció signe

Artícul principal → Funció signe.

La funció signe.

La funció signe, sgn(x) és una funció que a soles depén del signe del número sobre el que actua. Açò significa que sgn(x) té un cert valor per a tots els números positius, un atre cert valor per a tots els números negatius, i un atre per a zero. Més concretament, la funció signe és:

<math> \text{sgn}(x) = \left \{ \begin{array}{rcl} -1 & \text{si} & x < 0 \\ 0 & \text{si} & x = 0 \\ 1 & \text{si} & x > 0 \end{array} \right . </math>

Existència de signe

El fet de que puga definir-se el signe sobre un conjunt de números que forma un anell requerix que puga definir-se una relació d'orde total i conjunt de números positius (o noció de positivitat)

El signe pot definir-se sempre que puga definir-se la noció de *positividad o conjunt de números positius P que satisfà les següents condicions:

1. Donats dos números a i b que pertanyena P, llavors a + b pertanyena P.
2. Donats dos números a i b que pertanyena P, llavors a · b pertanyena P.
3. Si <math>\scriptstyle c\in P</math> a soles una de les següents proposicions és vàlida:

<math>c\in P,\qquad c = 0, \qquad -c\in P</math>

donde <math>-c\,</math> designa el element opost respecte a la suma.

El fet de que els número complexos no admeten un signe compatible en el definit per als números reals es reflectix que tant la suposició de que <math>\scriptstyle i\ >\ 0</math> i <math>\scriptstyle i\ <\ 0</math> conduixen a contradicció:

Si <math>\scriptstyle 0\ <\ i</math> açò implicaría que <math>\scriptstyle 0\ <\ i\cdot i\ =\ -1</math>

Si <math>\scriptstyle 0\ >\ i </math> llavors <math>\scriptstyle -i\ >\ 0</math> y açò implicaría que <math>\scriptstyle 0\ <\ (-i)\cdot(-i)\ =\ -1</math>

En abdós casos se obté una contradicció.

Per als cossos finits tampoc es pot definir la noció de signe ya que en ser cíclics respecte a la multiplicació existix un n tal que:

<math>\overbrace{a+\dots+a}^n = -a</math>

Per la primera condició que definix el conjunt dels positius, si <math>\scriptstyle a>0</math> llavors el primer termen deu ser positiu, pero por la tercera condició <math>\scriptstyle -a<0</math>, lo cual és una contradicció.

Enllaços externs

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Signo (matemáticas) de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.