Diferència entre les revisions de "Distància" - L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià

(No es mostren 11 edicions intermiges d'4 usuaris)

Llínea 1:

En [[matemàtiques]], la '''distància''' entre dos punts de l'[[espai euclídeu]] equival a la llongitut del segment de la [[recta]] que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la [[geometria no *euclidiana]], el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura nomenada [[geodèsica]].

En [[matemàtiques]], la '''distància''' entre dos punts ~~del~~ [[espai ~~@euclídeo~~]] equival a la llongitut del segment de la [[recta]] que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la [[geometria no *euclidiana]], el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura ~~anomenada~~ [[geodèsica]].

En [[física]], la distància és una [[magnitut física|magnitut]] [[Escalar (física)|escalar]], que s'expressa en [[unitats de llongitut]].

== Definició formal ==

Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es definix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]] o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X ~~claves~~ X</math> en <math>mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions:

Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es definix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]] o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions:

* No negativitat: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math>

Llínea 16:

Llínea 12:

* Si <math>x,y \in X</math> són tals que <math>d(x,y)=0</math>, llavors <math>x=y</math>.

Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina '''[[pseudodistància]]''' o '''pseudomètrica'''.

Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina [[pseudodistància|'''pseudodistància''']] o '''pseudomètrica'''.

La distància és el concepte fonamental de la ~~@Topología~~ d'Espais Mètrics. Un [[espai mètric]] no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>.

La distància és el concepte fonamental de la Topologia d'Espais Mètrics. Un [[espai mètric]] no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>.

En el cas de que tinguérem un parell <math>(X,d)</math> i <math>d</math> fora una pseudodistància sobre <math>X</math>, llavors diríem que tenim un [[espai pseudomètric]].

Llínea 27:

Llínea 23:

=== Distància d'un punt a un conjunt ===

Si <math>(X,d)</math> es un [[espai mètric]], <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera:

Si <math>(X,d)</math> és un [[espai mètric]], <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera:

:<math>d(x,E):= \inf \{d(x,y): y \in E\}</math>.

Llínea 35:

Llínea 31:

* En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà eixa distància, puix <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, aixina que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completitut de <math>\mathbb{R}</math> i com l'image de d està acotada inferiorment per 0, queda garantisada l'existència de l'ínfim d'eixe conjunt, açò és, la distància del punt al conjunt.

* Si <math> x \in E</math> llavors <math>d(x,E)=0</math>.

* Pot ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, per eixemple si <math>x</math> és un [[punt d'adheriment]] de <math>E</math>. De fet, la [[Clausura topològica|clausura]] de <math>E</math> es precisament el conjunt dels punts de <math>X</math> que tenen distància 0 a <math>E</math>.

Els casos de distància d'un punt a una recta o de distància d'un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d'un punt a un conjunt, quan es considera la distància euclidiana.

=== Distància entre dos conjunts ===

Si <math>(X,d)</math> es un espai mètric, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podem definir la distància entre els conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la següent manera:

:<math>d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>.

Per la mateixa raó que ans, sempre está definida. Ademés <math>d(A,A)=0</math>, pero pot ocórrer que <math>d(A,B)=0</math> i sno obstant <math>A \ne B</math>. Es més, podem tindre dos conjunts tancats la distància del qual siga 0 i no obstant siguen disjunts, e inclús que tinguen clausura disjuntas.

Por eixample, el conjunt <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunt <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Per un costat, <math>A=\operatorname{cl}(A)</math>, <math>B=\operatorname{cl}(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por atro <math>d(A,B)=0</math>.

La distància entre dos rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància euclidiana.

== Vore també ==

* [[Distància de Mahalanobis]]

* [[Método dels quadrants centrats en un punt]]

* [[Desplaçament (vector)]]

* [[Trayectòria]]

* [[Recta real estesa]]

* [[Mesura de Lebesgue]]

* [[Distància d'un punt a una recta]]

* [[Distància relativa entre dos camps escalares]]

[[Categoria:Matemàtiques]]

[[Categoria:Matemàtica elemental]]

[[Categoria:Llongitut]]

@@ Llínea 1: / Llínea 1: @@
+En [[matemàtiques]], la '''distància''' entre dos punts de l'[[espai euclídeu]] equival a la llongitut del segment de la [[recta]] que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la [[geometria no *euclidiana]], el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura nomenada [[geodèsica]].
-En [[matemàtiques]], la '''distància''' entre dos punts del [[espai @euclídeo]] equival a la llongitut del segment de la [[recta]] que els unix, expressat numèricament. En espais més complexos, com els definits en la [[geometria no *euclidiana]], el «camí més curt» entre dos punts és un segment recte en curvatura anomenada [[geodèsica]].
 En [[física]], la distància és una [[magnitut física|magnitut]] [[Escalar (física)|escalar]], que s'expressa en [[unitats de llongitut]].
 == Definició formal ==
-Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es definix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]]  o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X claves X</math> en <math>mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions:
+Des d'un punt de vista formal, per a un [[conjunt]] d'elements <math>X</math> es definix '''distància''' o '''mètrica''' com qualsevol [[funció matemàtica]] o aplicació <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique les següents condicions:
 * No negativitat: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math>
@@ Llínea 16: / Llínea 12: @@
 * Si <math>x,y \in X</math> són tals que <math>d(x,y)=0</math>, llavors <math>x=y</math>.
-Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina '''[[pseudodistància]]''' o '''pseudomètrica'''.
+Si deixem d'exigir que es complixca esta última condició, al concepte resultant se li denomina [[pseudodistància|'''pseudodistància''']] o '''pseudomètrica'''.
-La distància és el concepte fonamental de la @Topología d'Espais Mètrics. Un [[espai mètric]] no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>.
+La distància és el concepte fonamental de la Topologia d'Espais Mètrics. Un [[espai mètric]] no és una atra cosa que un parell <math>(X,d)</math>, on <math>X</math> és un conjunt en el que definim una distància <math>d</math>.
 En el cas de que tinguérem un parell <math>(X,d)</math> i <math>d</math> fora una pseudodistància sobre <math>X</math>, llavors diríem que tenim un [[espai pseudomètric]].
@@ Llínea 27: / Llínea 23: @@
 === Distància d'un punt a un conjunt ===
-Si <math>(X,d)</math> es un [[espai mètric]], <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera:
+Si <math>(X,d)</math> és un [[espai mètric]], <math>E \subset X</math>, <math>E \ne \varnothing</math> y <math>x \in X</math>, podem definir la distància del punt <math>x</math> al conjunt <math>E</math> de la següent manera:
 :<math>d(x,E):= \inf \{d(x,y): y \in E\}</math>.
@@ Llínea 35: / Llínea 31: @@
 * En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà eixa distància, puix <math>d</math> té per domini <math>X \times X</math>, aixina que per a qualsevol <math>y \in E</math> existirà un únic valor real positiu <math>d(x,y)</math>. Per la completitut de <math>\mathbb{R}</math> i com l'image de d està acotada inferiorment per 0, queda garantisada l'existència de l'ínfim d'eixe conjunt, açò és, la distància del punt al conjunt.
+* Si <math> x \in E</math> llavors <math>d(x,E)=0</math>.
+* Pot ser que <math>d(x,E)=0</math> pero <math>x \notin E</math>, per eixemple si <math>x</math> és un [[punt d'adheriment]] de <math>E</math>. De fet, la [[Clausura topològica|clausura]] de <math>E</math> es precisament el conjunt dels punts de <math>X</math> que tenen distància 0 a <math>E</math>.
+Els casos de distància d'un punt a una recta o de distància d'un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d'un punt a un conjunt, quan es considera la distància euclidiana.
+=== Distància entre dos conjunts ===
+Si <math>(X,d)</math> es un espai mètric, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podem definir la distància entre els conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la següent manera:
+:<math>d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>.
+Per la mateixa raó que ans, sempre está definida. Ademés <math>d(A,A)=0</math>, pero pot ocórrer que <math>d(A,B)=0</math> i sno obstant <math>A \ne B</math>. Es més, podem tindre dos conjunts tancats la distància del qual siga 0 i no obstant siguen disjunts, e inclús que tinguen clausura disjuntas.
+Por eixample, el conjunt <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunt <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Per un costat, <math>A=\operatorname{cl}(A)</math>, <math>B=\operatorname{cl}(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por atro <math>d(A,B)=0</math>.
+La distància entre dos rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància euclidiana.
+== Vore també ==
+* [[Distància de Mahalanobis]]
+* [[Método dels quadrants centrats en un punt]]
+* [[Desplaçament (vector)]]
+* [[Trayectòria]]
+* [[Recta real estesa]]
+* [[Mesura de Lebesgue]]
+* [[Distància d'un punt a una recta]]
+* [[Distància relativa entre dos camps escalares]]
+[[Categoria:Matemàtiques]]
+[[Categoria:Matemàtica elemental]]
+[[Categoria:Llongitut]]