Diferència entre les revisions de "Regla de tres"
Pàgina nova, en el contingut: «La '''regla de tres''' és una forma de resoldre problemes de proporcionalitat entre tres o més valors coneguts i una incògnita. En ella s'establix una [...» |
Sense resum d'edició |
||
| (No es mostren 15 edicions intermiges d'4 usuaris) | |||
| Llínea 28: | Llínea 28: | ||
| páginas= 288 | | páginas= 288 | ||
}}</ref> | }}</ref> | ||
La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta. | La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta. | ||
== Regla de tres simple == | == Regla de tres simple == | ||
En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts ''A'' i ''B'', i coneixent un tercer valor '''X''', calculem un quart valor. '''Y'''. | En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts ''A'' i ''B'', i coneixent un tercer valor '''X''', calculem un quart valor. '''Y'''. <ref>{{cita libro | ||
| autor= Placencia Valero, Job | |||
| título= Compendio de matemática básica elemental | |||
| editor= | |||
| editorial= Editorial Tébar, S.L. | |||
| año= 2008 | |||
| idioma= español | |||
| isbn= 978-84-7360-294-5 | |||
| páginas= 49 | |||
}}</ref> | |||
: <math> | |||
\begin{array}{ccc} | |||
A & \longrightarrow & B \\ | |||
X & \longrightarrow & Y | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de '''A''' hi haurà un major valor de '''B''', i serà inversa, quan es de que, a un major valor de '''A''' corresponga un menor valor de '''B''', vejam cada u d'eixos casos. | |||
=== Regla de tres simple directa === | |||
[[Archiu:Relación directa.svg|260px|right]] | |||
La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de [[proporcionalitat]], per #lo que ràpidament s'observa que: | |||
: <math> | |||
\frac{B}{A} = | |||
\frac{Y}{X} = | |||
k | |||
</math> | |||
A on '''k''' és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de '''A''' li correspon un aument de '''B''' en la mateixa proporció. Que podem representar: | |||
: <math> | |||
\left . | |||
\begin{array}{ccc} | |||
A & \longrightarrow & B \\ | |||
X & \longrightarrow & Y | |||
\end{array} | |||
\right \} | |||
\rightarrow \quad | |||
Y = \cfrac{B \cdot X}{A} | |||
</math> | |||
i direm que: '''A''' és a '''B''' directament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''B''' per '''X''' dividit entre '''A'''. | |||
Imaginem que se nos planteja lo següent: | |||
{{definició| | |||
Si necessite 8 litros de pintura per a pintar 2 habitacions, ¿quants litros necessite per a pintar 5 habitacions? | |||
}} | |||
Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina: | |||
: <math> | |||
\left . | |||
\begin{array}{ccc} | |||
2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\ | |||
5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros} | |||
\end{array} | |||
\right \} | |||
\rightarrow \quad | |||
Y = | |||
\cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitacions} }{2 \; \text{habitacions} } = | |||
20 \; litros | |||
</math> | |||
=== Regla de tres simple inversa === | |||
[[Archiu:Relación inversa.svg|260px|right]] | |||
En la regla de tres simple inversa,<ref>{{cita libro | |||
| apellido= Álvarez Pérez | |||
| nombre= Antonio | |||
| título= Enciclopedia Álvarez, 3er grado | |||
| editor= | |||
| editorial= Editorial Edaf, S.A. | |||
| año= 1997 | |||
| idioma=inglés | |||
| isbn= 978-84-414-0244-7 | |||
| página= 245 | |||
}}</ref> en la relació entre els valors se cumplix que: | |||
: <math> | |||
A \cdot B = | |||
X \cdot Y = | |||
e | |||
</math> | |||
a on '''e''' és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de '''A''', necessitara una disminució de '''B''', per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem: | |||
: <math> | |||
\left . | |||
\begin{array}{ccc} | |||
A & \longrightarrow & B \\ | |||
X & \longrightarrow & Y | |||
\end{array} | |||
\right \} | |||
\rightarrow \quad | |||
Y = \cfrac{A \cdot B}{X} | |||
</math> | |||
i direm que: '''A''' és a '''B''' inversament, com a '''X''' és a '''Y''', sent '''Y''' igual al producte de '''A''' per '''B''' dividit per '''X'''. | |||
Si per eixemple tenim el problema: | |||
{{definició| | |||
Si 8 treballadors construïxen un mur en 15 hores, ¿quànt tardaran 5 treballadors en alçar el mateix mur? | |||
}} | |||
Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme). | |||
: <math> | |||
8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} = | |||
5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} = | |||
120 \; \text{hores de treball} | |||
</math> | |||
El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant. | |||
Tenim per tant una relació de ''proporcionalitat inversa'', i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim: | |||
: <math> | |||
\left . | |||
\begin{array}{ccc} | |||
8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\ | |||
5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores} | |||
\end{array} | |||
\right \} | |||
\rightarrow \quad | |||
Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } = | |||
24 \; \text{hores} | |||
</math> | |||
== Regla de tres composta == | |||
En ocasions el problema plantejat involucra més de tres cantitats conegudes, ademés de la desconeguda.<ref>{{cita libro | |||
| autor= Placencia Valero, Job | |||
| título= Compendio de matemática básica elemental | |||
| editor= | |||
| editorial= Editorial Tébar, S.L. | |||
| año= 2008 | |||
| idioma= español | |||
| isbn= 978-84-7360-294-5 | |||
| páginas= 50 | |||
}}</ref> Observem el següent eixemple: | |||
{{definició| | |||
Si 12 treballadors construïxen un mur de 100 metros en 15 hores, ¿quants treballadors es necessitaran per a alçar un mur de 75 metros en 26 hores? | |||
}} | |||
En el problema plantejat apareixen dos relacions de proporcionalitat al mateix temps. Ademés, per a completar l'eixemple, s'ha inclós una relació inversa i una atra directa. En efecte, si un mur de 100 metros ho construïxen 12 treballadors, és evident que per a construir un mur de 75 metros es necessitaran menys treballadors. Quan més chicotet és el mur, menys número d'obrers precisem: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat directa''. Per un atre costat, si disponem de 15 hores per a que treballen 12 obrers, és evident que disponent de 26 hores necessitarem menys obrers. En aumentar una cantitat, disminuïx l'atra: es tracta d'una relació de ''proporcionalitat inversa''. | |||
El problema s'enunciaria aixina: | |||
{{definició| | |||
100 metros són a 15 hores i 12 treballadors com 75 metros són a 26 hores i '''I''' treballadors. | |||
}} | |||
La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat dividir-ho entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que per [[grosseig]] resulten ser 6 treballadors ya que 5 treballadors no serien suficients). | |||
Formalment el problema es planteja aixina: | |||
: <math> | |||
\begin{matrix} | |||
A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\ | |||
X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y | |||
\end{matrix} | |||
</math> | |||
* La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. Per un costat, la primera, que, recordem, és directa, i es resol aixina: | |||
: <math> | |||
\left . | |||
\begin{matrix} | |||
A & \longrightarrow & C \\ | |||
X & \longrightarrow & Y | |||
\end{matrix} | |||
\right \} | |||
\quad \longrightarrow \quad | |||
Y = \frac{X \cdot C}{A} | |||
</math> | |||
* A continuació plantegem la segona, que, recordem, és inversa, i es resol aixina: | |||
: <math> | |||
\left . | |||
\begin{matrix} | |||
B & \longrightarrow & C \\ | |||
Z & \longrightarrow & Y | |||
\end{matrix} | |||
\right \} | |||
\quad \longrightarrow \quad | |||
Y = \frac{B \cdot C}{Z} | |||
</math> | |||
* A continuació unim abdós operacions en una sola, anant en conte de no repetir cap terme (és dir, afegint el terme '''C''' una sola volta): | |||
: <math> | |||
Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z} | |||
</math> | |||
lo que nos dona la solució buscada. | |||
El problema es pot plantejar en tots els térmens que es vullga, siguen totes les relacions directes, totes inverses o mesclades, com en el cas anterior. Cada regla ha de plantejar-se en sum conte, tenint en conte si és inversa o directa, i tenint en conte (açò és molt important) no repetir cap terme en unir cada una de les relacions simples. | |||
== Eixemples == | |||
* Per a passar 60 [[Grau Celsius|graus]] a [[radian|radians]] podríem establir la següent regla de tres: | |||
Ubiquem l'incògnita en la primera posició: | |||
<math> | |||
\begin{matrix} | |||
180^\circ & \longrightarrow & \pi \; \text{radianes} \\ | |||
60^\circ & \longrightarrow & X \; \text{radianes} | |||
\end{matrix} | |||
</math> | |||
||left}} | |||
Açò formalisa la pregunta "¿Quants radians hi ha en 60 graus, ya que π radians són 180 graus?". Aixina tenim que: | |||
{{equació| | |||
<math> X = \frac{\pi \; \text{radianes} \cdot 60^\circ}{180^\circ}= \frac{\pi}{3} \; \text{radianes} </math> | |||
||left}} | |||
A on π és el [[Número π]]. | |||
Una tècnica útil per a recordar cóm trobar la solució d'una regla de tres és la següent: X és igual al producte dels térmens creuats (π i 60, en este cas) dividit pel terme que està creuat en X. | |||
* Calcular quànts minuts hi ha en 7 hores. Sabem que hi ha 60 minuts en 1 hora, per lo que escrivim: | |||
: <math> | |||
\begin{matrix} | |||
1 \; \text{hora} & \longrightarrow & 60 \; \text{minuts} \\ | |||
7 \; \text{hores} & \longrightarrow & X \; \text{minuts} | |||
\end{matrix} | |||
</math> | |||
El resultat és: | |||
: <math> | |||
X = | |||
\frac | |||
{60 \; \text{minuts} \cdot 7 \; \text{hores}} | |||
{1 \; \text{hora}} | |||
= 420 \; \text{minuts} | |||
</math> | |||
== Referències == | |||
<references/> | |||
== Bibliografia == | |||
# {{cita llibre | |||
|apellidos= Varas | |||
|nombre= Antonio | |||
|coautores= | |||
|editor= en la imprenta de la viuda de Ibarra | |||
|otros= | |||
|título= Aritmética y geometría práctica de la Real Academia de San Fernando | |||
|edición= | |||
|año= 1801 | |||
|editorial= | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= | |||
|páginas= 106-120 | |||
|cita= | |||
}} | |||
# {{cita libro | |||
|apellidos= Bils | |||
|nombre= Benito | |||
|coautores= | |||
|editor= Viuda de Joaquín Ibarra. | |||
|otros= | |||
|título= Principios de aritmética de la Real Academia de San Fernando | |||
|edición= | |||
|año= 1839 | |||
|editorial= | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= | |||
|páginas= 149-154 | |||
|cita= | |||
}} | |||
# {{cita libro | |||
|apellidos= Contreras | |||
|nombre= Manuel María | |||
|coautores= | |||
|editor= Imp. J.F. Jens | |||
|otros= | |||
|título= Elementos de aritmética razonada: escritos para use de los alumnos de la Escuela nacional preparatoria | |||
|edición= 6 | |||
|año= 1884 | |||
|editorial= | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= | |||
|páginas= | |||
|cita= | |||
}} | |||
# {{cita libro | |||
|apellidos= | |||
|nombre= | |||
|coautores= | |||
|editor= Equipo Rosalía de Castro | |||
|otros= | |||
|título= Proporcionalidad y regla de tres, iniciación, Educación Primaria | |||
|edición= 1 | |||
|año= 1997 | |||
|editorial= Editorial Escudo, S.L. | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= 978-84-89833-33-3 | |||
|páginas= | |||
|cita= | |||
}} | |||
# {{cita libro | |||
|apellidos= Nogueira | |||
|nombre= Gerardo | |||
|coautores= | |||
|editor= | |||
|otros= | |||
|título= Problemas de Regla de Tres | |||
|edición= | |||
|año= 2003 | |||
|editorial= Imaginador | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= 978-98-75202-08-5 | |||
|páginas= | |||
|cita= | |||
}} | |||
# {{cita libro | |||
|apellidos= Teresa | |||
|nombre= M. Dal | |||
|coautores= | |||
|editor= | |||
|otros= | |||
|título= 200 Ejercicios de Regla de Tres | |||
|edición= | |||
|año= 2004 | |||
|editorial= Imaginador | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= 9789875202566 | |||
|páginas= | |||
|cita= | |||
}} | |||
# {{cita libro | |||
|apellidos= Ballester Sampedro | |||
|nombre= José Ignacio | |||
|coautores= Ballester Sampedro, Francisco Javier. Ballester Sampedro, Sergio | |||
|editor= | |||
|otros= | |||
|título= Ejercicios de proporcionalidad en secundaria | |||
|edición= 1 | |||
|año= 2008 | |||
|editorial= Liber Factory | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= 978-84-9869-658-5 | |||
|páginas= | |||
|cita= | |||
}} | |||
# {{cita libro | |||
|apellidos= Margallo Toral | |||
|nombre= José | |||
|coautores= | |||
|editor= | |||
|otros= | |||
|título= Matemáticas, 3 ESO | |||
|edición= 1 | |||
|año= 2010 | |||
|editorial= Editorial Editex, S.A. | |||
|idioma= español | |||
|id= | |||
|isbn= 978-84-9771-427-3 | |||
|páginas= | |||
|cita= | |||
}} | |||
== Enllaços externs == | |||
* [http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_00250.html Regla de Tres] | |||
* [http://www.thatquiz.com/es/mc?GBOM1530 Regla de tres directa] | |||
[[Categoria:Matemàtiques]] | |||
[[Categoria:Aritmètica]] | [[Categoria:Aritmètica]] | ||
{{Traduït de|es|Regla de tres}} | |||