2744
edicions
Canvis
Pàgina nova, en el contingut: «Un '''número decimal periòdic''' és un @número racional caracterisat per tindre un periodo (sifres que es repetixen indefinidament) en la seua Sistem...»
Un '''número decimal periòdic''' és un [[@número racional]] caracterisat per tindre un periodo (sifres que es repetixen indefinidament) en la seua [[Sistema de numeració decimal|expansió decimal]]. Este periodo pot constar d'una o vàries sifres, com
Les següents:
: <math>
\cfrac{1}{3} =
0,\boldsymbol{3}\,333\dots
\; ; \quad
\cfrac{1}{7} =
0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots
</math>
El periodo es pot expressar escrivint un arc damunt de les sifres repetides, per eixemple:
: <math>
\cfrac{2}{3} =
0, \overset{\frown}{6}
\; ; \quad
\cfrac{12}{11} =
1, \overset{\frown}{09}
</math>
== Tipos de números periòdics ==
*'''Número periòdic puro''': Quan immediatament despuix de la coma hi ha una o més sifres que es repetixen.
**Eixemple: <math>0,999\dots = 0,\bar{9}</math>
*'''Número periòdic mixt''' (també cridat ''semiperiòdic''): Quan despuix de la coma hi ha una o més sifres que no es repetixen, seguides per una o més sifres que sí es repetixen.
**Eixemple: <math>1.91222\dots = 1.91 \bar{2}</math>, en donde ''91'' es el anteperiodo.
== Fracció corresponent a un número periòdic ==
Una fracció pot donar un número decimal periòdic:
: <math>
\begin{array}{l}
\cfrac{1}{9} = 0,111111111111...\\
\cfrac{1}{7} = 0,142857142857...\\
\cfrac{1}{3} = 0,333333333333...\\
\cfrac{2}{27} = 0,074074074074...\\
\cfrac{7}{12} = 0,58333333333...
\end{array}
</math>
Donat un número periòdic en la seua representació decimal, és possible
trobar la fracció que ho produïx (''fracció @generatriz''). Eixemple:
: <math>
\begin{array}{rcll}
x & = & 0,333333\ldots\\
10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)} \\
9x & = & 3 & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
\\
x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3} & \text{(simplificando)}
\end{array}
</math>
Otro ejemplo:
: <math>
\begin{array}{rcl}
x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\
100x & = & 285,63636363\ldots \\
99x & = & 282,78
\end{array}
</math>
: <math>
x =
\frac{282,78}{99} =
\frac{28278}{9900} =
\frac{1571}{550}
</math>
El procediment anterior és general i permet enunciar les següents regles:
* '''Número periòdic puro''': La fracció d'un número decimal periòdic puro té:
** [[numerador]]: la diferència entre ''la part anterior al periodo'' seguida del ''periodo'' (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic número entero) menys ''la part anterior al periodo''.
** [[denominador]]: tants '''9''' com a sifres té el ''periodo''
: Eixemple:
:: <math>
5,34\ 34\dots =
\frac{534-5}{99} =
\frac{529}{99}
</math>
* '''Número periòdic mixt''': La fracció d'un número decimal periòdic mixt té:
** numerador: la diferència entre ''la part anterior al periodo'' seguida del ''periodo'' (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic @número entero) menys ''la part anterior al periodo''.
** denominador: tants '''9''' com a sifres té el ''periodo'', seguits de tants '''0''' com a sifres té la part no periòdica.
: Eixemple:
:: <math>
12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
\frac{1234567-12345}{99000} =
\frac{1222222}{99000} =
\frac{611111}{49500}
</math>
=== Tipo de número periòdic resultant ===
Donada una [[fracció irreductible]] (és dir, en la que numerador i denominador són [[Número primo|primers]] entre sí, i per tant no es pot simplificar més) és senzill saber si correspon a un número periòdic puro, mixt, o és un decimal exacte, sense necessitat de fer la divisió:
* Si en descompondre el denominador en [[Factor primer|factors primers]], estos són només el 2 i/o el 5, serà exacta.
Per eixemple:
: <math>
\cfrac{7}{20}
</math>
com:
: <math>
20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
</math>
serà exacta; en efecte
: <math>
\cfrac{7}{20} =
\cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
\cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
\cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
\cfrac{35}{100} =
0,35
</math>
Atro eixemple:
: <math>
\cfrac{7}{25}
</math>
com:
:<math>
25 = 5 \cdot 5
</math>
serà exacta; en efect:
: <math>
\cfrac{7}{25} =
\cfrac{7}{5 \cdot 5} =
\cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
\cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
\cfrac{28}{100} =
0,28
</math>
* Si en descompondre el denominador en factors primers, estos no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura:
Per eixemple:
: <math>
\cfrac{5}{21}
</math>
como:
: <math>
21 = 3 \cdot 7
</math>
serà periòdica pura; en efecte:
: <math>
\cfrac{5}{21} =
0,238095\ 238095\ 238095\dots
</math>
* Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo:
: <math>
\cfrac{5}{42}
</math>
como:
: <math>
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7
</math>
serà periòdica mixta, en efecte:
: <math>
\cfrac{5}{42} =
0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots
</math>
mas no es segur un resultat pròxim.
== Vore també ==
* [[0,9 periòdic]]
* [[Representació decimal]]
* {{Classificació números}}
== Referències ==
* {{cita libro
| apellidos = Jimenez Hernández
| nombre = José de Jesús
| título = Matemáticas 1
| editorial = Ediciones Umbral
| página = 66
}}
* {{MathWorld|RepeatingDecimal|Repeating Decimal}}
[[Categoria:Sistemes de numeració posicional]]
[[categoria:Fraccions]]
[[Categoria:Aritmètica elemental]]
{{Traduït de|es|Número decimal periódico}}
Les següents:
: <math>
\cfrac{1}{3} =
0,\boldsymbol{3}\,333\dots
\; ; \quad
\cfrac{1}{7} =
0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots
</math>
El periodo es pot expressar escrivint un arc damunt de les sifres repetides, per eixemple:
: <math>
\cfrac{2}{3} =
0, \overset{\frown}{6}
\; ; \quad
\cfrac{12}{11} =
1, \overset{\frown}{09}
</math>
== Tipos de números periòdics ==
*'''Número periòdic puro''': Quan immediatament despuix de la coma hi ha una o més sifres que es repetixen.
**Eixemple: <math>0,999\dots = 0,\bar{9}</math>
*'''Número periòdic mixt''' (també cridat ''semiperiòdic''): Quan despuix de la coma hi ha una o més sifres que no es repetixen, seguides per una o més sifres que sí es repetixen.
**Eixemple: <math>1.91222\dots = 1.91 \bar{2}</math>, en donde ''91'' es el anteperiodo.
== Fracció corresponent a un número periòdic ==
Una fracció pot donar un número decimal periòdic:
: <math>
\begin{array}{l}
\cfrac{1}{9} = 0,111111111111...\\
\cfrac{1}{7} = 0,142857142857...\\
\cfrac{1}{3} = 0,333333333333...\\
\cfrac{2}{27} = 0,074074074074...\\
\cfrac{7}{12} = 0,58333333333...
\end{array}
</math>
Donat un número periòdic en la seua representació decimal, és possible
trobar la fracció que ho produïx (''fracció @generatriz''). Eixemple:
: <math>
\begin{array}{rcll}
x & = & 0,333333\ldots\\
10x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)} \\
9x & = & 3 & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
\\
x & = & \cfrac{3}{9} = \cfrac{1}{3} & \text{(simplificando)}
\end{array}
</math>
Otro ejemplo:
: <math>
\begin{array}{rcl}
x & = & \;\;\; 2,85636363\ldots \\
100x & = & 285,63636363\ldots \\
99x & = & 282,78
\end{array}
</math>
: <math>
x =
\frac{282,78}{99} =
\frac{28278}{9900} =
\frac{1571}{550}
</math>
El procediment anterior és general i permet enunciar les següents regles:
* '''Número periòdic puro''': La fracció d'un número decimal periòdic puro té:
** [[numerador]]: la diferència entre ''la part anterior al periodo'' seguida del ''periodo'' (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic número entero) menys ''la part anterior al periodo''.
** [[denominador]]: tants '''9''' com a sifres té el ''periodo''
: Eixemple:
:: <math>
5,34\ 34\dots =
\frac{534-5}{99} =
\frac{529}{99}
</math>
* '''Número periòdic mixt''': La fracció d'un número decimal periòdic mixt té:
** numerador: la diferència entre ''la part anterior al periodo'' seguida del ''periodo'' (tot escrit sense la coma, de corregut, com un únic @número entero) menys ''la part anterior al periodo''.
** denominador: tants '''9''' com a sifres té el ''periodo'', seguits de tants '''0''' com a sifres té la part no periòdica.
: Eixemple:
:: <math>
12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
\frac{1234567-12345}{99000} =
\frac{1222222}{99000} =
\frac{611111}{49500}
</math>
=== Tipo de número periòdic resultant ===
Donada una [[fracció irreductible]] (és dir, en la que numerador i denominador són [[Número primo|primers]] entre sí, i per tant no es pot simplificar més) és senzill saber si correspon a un número periòdic puro, mixt, o és un decimal exacte, sense necessitat de fer la divisió:
* Si en descompondre el denominador en [[Factor primer|factors primers]], estos són només el 2 i/o el 5, serà exacta.
Per eixemple:
: <math>
\cfrac{7}{20}
</math>
com:
: <math>
20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
</math>
serà exacta; en efecte
: <math>
\cfrac{7}{20} =
\cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
\cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
\cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
\cfrac{35}{100} =
0,35
</math>
Atro eixemple:
: <math>
\cfrac{7}{25}
</math>
com:
:<math>
25 = 5 \cdot 5
</math>
serà exacta; en efect:
: <math>
\cfrac{7}{25} =
\cfrac{7}{5 \cdot 5} =
\cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
\cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
\cfrac{28}{100} =
0,28
</math>
* Si en descompondre el denominador en factors primers, estos no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura:
Per eixemple:
: <math>
\cfrac{5}{21}
</math>
como:
: <math>
21 = 3 \cdot 7
</math>
serà periòdica pura; en efecte:
: <math>
\cfrac{5}{21} =
0,238095\ 238095\ 238095\dots
</math>
* Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo:
: <math>
\cfrac{5}{42}
</math>
como:
: <math>
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7
</math>
serà periòdica mixta, en efecte:
: <math>
\cfrac{5}{42} =
0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots
</math>
mas no es segur un resultat pròxim.
== Vore també ==
* [[0,9 periòdic]]
* [[Representació decimal]]
* {{Classificació números}}
== Referències ==
* {{cita libro
| apellidos = Jimenez Hernández
| nombre = José de Jesús
| título = Matemáticas 1
| editorial = Ediciones Umbral
| página = 66
}}
* {{MathWorld|RepeatingDecimal|Repeating Decimal}}
[[Categoria:Sistemes de numeració posicional]]
[[categoria:Fraccions]]
[[Categoria:Aritmètica elemental]]
{{Traduït de|es|Número decimal periódico}}