Diferència entre les revisions de "Transformada de Laplace" - L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià

Llínea 64:

Cap a principis del sigle XX, la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la [[integració]] i [[Derivada|derivació]] es convertixen en [[multiplicació]] i [[Divisió (matemàtica)|divisió]]. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.

== Propietats ==

==== Linealitat ====

{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}

= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +

b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>}}

==== Derivació ====

{{equació|<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}

= s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math>.}}

{{equació|<math>\mathcal{L}\{f''(t)\}

= s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math>}}

{{equació|<math> \mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \dots - f^{(n - 1)}(0) </math> <math> = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0) </math>}}

==== Integració ====

{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}</math>}}

==== Dualitat ====

:<math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}

= -F'(s)</math>

==== Desplaçament de la freqüència ====

: <math>\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} =

F(s-a)</math>

{{ORDENAR:}}==== Desplaçament temporal ====

: <math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}

= e^{-as} F(s)</math>

: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}

= f(t - a) u(t - a)</math>

Nota: <math>u(t)</math> es la [[funció escaló unitari]].

==== Desplaçament potència ''n''-ésima ====

: <math>\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]</math>

==== Convolució ====

: <math>\mathcal{L}\{f*g\}

= F(s)G(s)</math>

==== Transformada de Laplace d'una funció en periodo ''p'' ====

{{ecuación|<math>\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>}}

==== Condicions de convergència ====

: <math>\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}</math> (que crece más rápido que <math>e^{-st}</math>) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que <math>e^{t^2}</math>, es una función de orden exponencial de ángulos.

==== Teorema del valor inicial ====

Sea una función <math> f\in\varepsilon</math> derivable a trozos y que <math>f^{\prime}\in\varepsilon.</math> Entonces :

<math>f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}</math>

<math> \varepsilon</math> es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

==== Teorema del valor final ====

Sea<math>f\in\varepsilon</math> una función derivable a trozos tal que <math>f^{\prime}\in\varepsilon</math>.Entonces :

<math>f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}</math>

<math> \varepsilon</math> és el conjunt de funcions contínues a trossos en orde exponencial.

@@ Llínea 64: / Llínea 64: @@
 Cap a principis del sigle XX, la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la [[integració]] i [[Derivada|derivació]] es convertixen en [[multiplicació]] i [[Divisió (matemàtica)|divisió]]. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.
+== Propietats ==
+==== Linealitat ====
+{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
+  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
+    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>}}
+==== Derivació ====
+{{equació|<math>\mathcal{L}\{f'(t)\}
+  = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)</math>.}}
+{{equació|<math>\mathcal{L}\{f''(t)\}
+  = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)</math>}}
+{{equació|<math> \mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \dots - f^{(n - 1)}(0) </math> <math> = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0) </math>}}
+==== Integració ====
+{{equació|<math>\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau  \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}</math>}}
+==== Dualitat ====
+:<math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}
+  = -F'(s)</math>
+==== Desplaçament de la freqüència ====
+: <math>\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} =
+  F(s-a)</math>
+{{ORDENAR:}}==== Desplaçament temporal ====
+: <math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
+  = e^{-as} F(s)</math>
+: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
+  = f(t - a) u(t - a)</math>
+Nota: <math>u(t)</math> es la [[funció escaló unitari]].
+==== Desplaçament potència ''n''-ésima ====
+: <math>\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]</math>
+==== Convolució ====
+: <math>\mathcal{L}\{f*g\}
+  = F(s)G(s)</math>
+==== Transformada de Laplace d'una funció en periodo ''p'' ====
+{{ecuación|<math>\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>}}
+==== Condicions de convergència ====
+: <math>\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}</math>  (que crece más rápido que <math>e^{-st}</math>) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que <math>e^{t^2}</math>, es una función de orden exponencial de ángulos.
+==== Teorema del valor inicial ====
+Sea una función <math> f\in\varepsilon</math>  derivable a trozos y que <math>f^{\prime}\in\varepsilon.</math> Entonces :
+<math>f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}</math>
+<math> \varepsilon</math> es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
+==== Teorema del valor final ====
+Sea<math>f\in\varepsilon</math> una función derivable a trozos tal que <math>f^{\prime}\in\varepsilon</math>.Entonces :
+<math>f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}</math>
+<math> \varepsilon</math> és el conjunt de funcions contínues a trossos en orde exponencial.