Índex de Miller

Plans en diferents índexs de Miller en cristals cúbics

Eixemples de direccions

Els índexs de Miller, en cristalografia , són un joc de tres números que permeten identificar unívocamente un sistema de plans cristalográficos.Els índexs d'un sistema de plans s'indiquen genèricament en les lletres (h k l).

Els índexs de Miller són número entero, negatius o positius, i són primers entre sí. El signe negatiu d'un índex de Miller deu ser colocat sobre dit número.

L'índex de Miller va ser presentat per primera volta pel mineralogista britànic William Hallowes Miller en 1839. Existixen ademés atres notacions per als casos especials de cristals en plans simètrics.

Obtenció dels índexs de Miller

Els índexs de Miller d'un pla cristalográfico estan definits com els recíprocs de les interseccions que el pla determina en els eixos (x, i, z) del nostre sistema d'eixos coordenados. Per a obtindre els índexs de Miller d'un pla primer determinem l'intersecció d'est en els eixos. Una volta obtinguts els números, es troben els seus inversos i els multipliquem pel mínim comú múltiple (A). Un pla queda aixina representat per la forma (h, k, l):

h = A/m; k = A/n; l = A/p

Es deduïx que si un pla és paralel a un dels eixos, ho talla en l'infinit, i el seu índex serà zero. Si ho tallara en la part negativa, l'índex serà negatiu, la qual cosa s'indicarà en un guion sobre dit índex. Si el pla passa per l'orige es desplaçarà a una posició equivalent en la cela.

En el cas de que es tinguen plans de rets equivalents, relacionades per la simetria del sistema cristalí, se li cridara Família de Plans i es tancaren entre claus {h, k, l}.

Per a determinar els índexs d'una direcció cristalográfica qualsevol, es traça per l'orige una paralela a esta. Sobre ella es pren el nuc (A) arbitrari de coordenades (x, i, z), tal que siga múltiple de les arestes (a, b, c) de la gaveta:

x = r·a; i = s·b; z = t·c

Una volta obtingudes (r, s, t) es dividixen pel seu màxim comú divisor (D), en lo que resulten els números:

o = r/D; v = s/D; w = t/D

La recta queda aixina definida pels seus índexs entre corchetes [o, v, w].

És important la relació que existix solament en el sistema cúbic, en els que els índexs de Miller d'una direcció perpendicular a un pla són els mateixos.

Per a la Família de Direccions ací s'usa com a notació < o v w >

Casos especials

El procediment de classificació dels cristals es completa en els següents casos especials per als quals es deu tindre en conte:

• Si el pla a indexar és paralel a un eix coordenado, el punt d'intersecció es deu assumir en l'infinit, que després en els càlculs s'interpretarà cóm 0 (vore imàgens).

• Si el pla a indexar té una intersecció en el costat negatiu dels eixos, un signe menys es posa sobre el corresponent número d'índex. Aixina el pla que interseca els eixos en els punts (1 6 -2) té un índex de Miller (1 1/6 Plantilla:Overline).

• Quan per la simetria del cristal, és impossible distinguir entre plans equivalents (cóm el cristal de diamant, per eixemple). El grup de plans equivalents es nota entre corchetes (ej. {1 0 0}).

• No es poden establir índexs de Miller per a plans que passen pel orige de coordenades. L'orige de coordenades deurà ser traslladat a un punt del cristal fora del pla a indexar. Este procediment és acceptable per la naturalea equivalent dels plans paralels.