142 857

Entre els números que presenten curiositats matemàtiques destaca el 142 857 (cent cuarenta y dos mil huitcents cincuenta y siete). Este número té la particularitat de que en ser multiplicat per la seqüència de 2 a 6, el producte resultant correspon exactament a les mateixes sifres del número original pero en un atre orde. Per esta raó, este tipo de números es denominen cíclics.

Seqüència inicial

Vore la seqüència (separador de mills retirat per a major claritat):

• 142 857 × 2 = 285714
• 142 857 × 3 = 428571
• 142 857 × 4 = 571428
• 142 857 × 5 = 714285
• 142 857 × 6 = 857142

Atres propietats

En multiplicar-ho per 7, la particularitat anterior no es complix, pero es complix:

• 142 857 × 7 = 999 999

En continuar multiplicant, la particularitat abans descrita permaneix, pero una miqueta menys evident:

• 142 857 × 8 = 1 142 856

Observe's que la sifra 7 ha desaparegut, pero ha segut reemplaçada per 1 i 6: 1+6=7

• 142 857 × 9 = 1 285 713 (Ara falta el 4, pero queda 1 i 3)
• 142 857 × 10 = 1 428 570
• 142 857 × 11 = 1 571 427 (Falta un 8, pero tenim un 1 i 7 adicionals)

Si se seguix en la seqüència de multiplicacions serà possible trobar encara atres permutació i combinacions de sifres que tornaran a compondre el número original: 142 857.

Per eixemple:

• 142 857 × 429 = 61 285 653. En la part central està el 285 del nostre número mágic i nos falta per tant el 714 (per orde cíclic), pero en el resultat 61.285 653. La suma dels extrems sobrers 61+653 nos dona precisament el 714 que nos faltava.

Un atre eixemple: 142 857 * 26 599 = 3 799 853 343. En la part central està el 85 del número inicial i falta per tant el 7142, segons l'orde cíclic, i novament és la suma dels extrems sobrers 3799+3343 = 7142.

Este número és la part periòdica d'un número que és dividit entre 7 (i no dona exacte)

$\frac{1}{7}=0,\mathrm{142857...}$	$\frac{2}{7}=0,\mathrm{285714...}$	$\frac{3}{7}=0,\mathrm{428571...}$
$\frac{4}{7}=0,\mathrm{571428...}$	$\frac{5}{7}=0,\mathrm{714285...}$	$\frac{6}{7}=0,\mathrm{857142...}$

Siga com siga el número, estos sis números es repetiran sempre en el mateix orde, pero escomençant des d'un o un atre. Eixemple 1307/7 = 186,71428571428...

Si s'eleva al quadrat, es partix en dos i se sumen els dos números resultants:

• $142857^2=20408122449$
• $20408+122449=142857$

Si s'eleven els primers 3 dígits al quadrat, i es resten del quadrat dels últims 3 dígits:

• $142^2=20164$
• $857^2=734449$
• $734449-20164=714285$

Si se sumen els primers 3 dígits i els últims 3 dígits, s'obté:

• 142 + 857 = 999

Si se sumen els dígits de 2 en 2, s'obté un atre:

• 14 + 28 + 57 = 99

Si es multipliquen per números múltiples de 7:

• $142857*7=999999$
• $142857*14=1999998$
• $142857*21=2999997$
• $142857*28=3999996$
• $142857*35=4999995$

En qualsevol cas els extrems que rodegen els 9 centrals sumaran 9 o 99 o 999, etc. Eixemple: 142 857*847 = 120 999 879 sumant els extrems dels 9 centrals, 120+879 obtenim 999.

Escacs. El problema de les 8 dames

Enunciat: «Sobre un tauler d'escacs de 8x8 colocar huit dames de modo que no s'amenacen entre sí.»

En les 92 solucions existents, número reconegut com a definitiu, es pot trobar el número 142 857 en totes les solucions afegint-se el 6 i 3.

Es demostra que, a partir d'una solució, es poden obtindre atres sèt (inversa, complementària, inversa de la complementària, recíproca, inversa de la recíproca, autorrecíproca i inversa de la autorrecíproca), per lo que és possible trobar un número menor de solucions i d'ahí averiguar les demés.

Pero sempre es van a trobar el 142 857 afegitons el 6 i el 3.

Bibliografia

• Leslie, John. The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ...., Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. Londres: Penguin Group. (1997): 171 - 175
• Israel Pacheco, Quito, Equador, 2013, Escacs: El problema de les 8 dames.