Anàlisis dinàmic

Una vareta elàstica vibrant pugues modelizarse com un voltó en voladizo per mig d'anàlisis dinàmic, usant la matriu de rigidea d'una barra recta i la matriu de massa corresponent.

El anàlisis dinàmic comprén l'anàlisis de les forces, desplaçaments, velocitats i acceleració que apareixen en una estructura o mecanisme com a resultat dels desplaçaments i deformacions que apareixen en l'estructura o mecanisme.

Gran part d'estos anàlisis poden ser simplificats en reduir el mecanisme o estructura a un sistema llineal, en lo que és possible aplicar el principi de superposició per a treballar en casos simplificats del mecanisme.

Anàlisis dinàmic de mecanismes

L'anàlisis dinàmic de mecanismes té per objecte determinar el moviment d'un mecanisme, les forces i els esforços interns que apareixen sobre cada u dels seus elements en cada posició de funcionament.

Método directe o de Newton

Este método analisa un mecanisme considerant cada una de les seues parts rígides com un sòlit rígit perfecte, i planteja un sistema d'equacions diferencials de moviment directament basades en les lleis de Newton, que en general resulta complex i difícil d'integrar ya que rarament l'elecció de coordenades i referències respectarà les simetria útils del problema. Una variació trivial d'este método és escriure introduir coordenades angulars, per a poder escriure algunes de les equacions del moviments en térmens de moments de forces, aixina les equacions bàsiques usades en el método directe són:

Método de d'Alembert

Este método usa el Principi de d'Alembert que és una extensió de la segona llei de Newton que té en conte les lligam existents entre diversos elements. L'us d'este método en lloc del método directe simplifica notablement les equacions.

Anàlisis dinàmic d'estructures

Artícul principal → Anàlisis modal utilisant FEM.

L'anàlisis dinàmic d'estructures es referix a l'anàlisis de les chicotetes oscilacions o vibracions que pot sofrir una estructura al voltant de la seua posició d'equilibri. L'anàlisis dinàmic és important perque eixe moviment oscilatori produïx una modificació de les tensions i deformacions existents, que deuen tindre's en conte per eixemple per a conseguir un disseny sísmic adequat.

Com a resultat d'un destorbament exterior un edifici o estructura resistent que baix l'acció d'unes càrregues estava en repòs, experimenta oscilacions que en primera aproximació poden representar-se com un moviment harmònic compost, caracterisat per un sistema d'equacions llineal del tipo:

(1) $𝐌\ddot{𝐱}(t)+𝐂\dot{𝐱}(t)+𝐊𝐱(t)=𝐅(t)$

A on:

$𝐌,𝐂,𝐊$ són respectivament la matriu de masses, la matriu de amortiguación i la matriu de rigidea de l'estructura.

$𝐱(t),\dot{𝐱}(t),\ddot{𝐱}(t)$ són tres vectores que representen la posició, velocitat i acceleració d'un conjunt de punts de l'estructura.

$𝐅(t)$ és un vector que representa les forces equivalents aplicades sobre el mateix conjunt de punts anteriors, este vector està associat a la solicitación exterior que pertorba la mateixa estructura.

L'anàlisis dinàmic inclou estudiar i modelizar a lo manco estos tres aspectes:

• Anàlisis modal de freqüències i modos propis de vibració. Tant les freqüències naturals de vibració d'una estructura com els modos principals de vibració depenen exclusivament de la geometria, els materials i la configuració d'un edifici o estructura resistent.
• Anàlisis de la solicitación exterior.
• Anàlisis de les forces dinàmiques induïdes.

Anàlisis dinàmic de pòrtics plans

L'anàlisis de pòrtics plans formats per barres rectes de secció constant pot portar-se a terme generalisant les equacions del método matricial, incorporant ademés de matrius de rigidea, matrius de massa. Les freqüències pròpies d'oscilació d'un pòrtic pla poden determinar-se a partir de les solucions de l'equació:

L'anterior equació és un polinomi de grau N en ω², que té precisament N soluciones reals. Els modos propis són un conjunt de modos de deformació, cada u d'ells representat per un conjunt finito de desplaçaments nodales. Estos modos propis són solucions no-trivials de l'equació:

Quan una estructura [elàstica i llineal] vibra baix l'acció de forces estàtiques abans d'alcançar el punt d'equilibri, el moviment pot descriure's per mig d'una deformació estàtica més la suma de N moviments harmònics simples atenuats. Quan la càrrega no és estàtica sino que varia en el temps, la solució pot ser més complexa podent-se inclús produir el fenomen potencialment destructiu de la resonància.

Anàlisis dinàmic en elements finitos

En un bon número d'aplicacions ingenieriles, són analisades i comprovades per mig de l'us del método dels elements finitos. en situacions a on l'estat del sistema és depenent del temps el método dels elements finitos du a una equació del tipo (1). Degut usualment a l'elevada dimensió dels vectores que apareixen en elles en este tipo d'aplicacions, la resolució exacta no resulta pràctica i s'usen diversos procediments d'integració numèrica basats en el método de les diferències finitas i variants del mateix. Estos métodos poden classificar-se segons varis criteris:

• Métodos implícits/explícits, un método explícit és el que no requerix la resolució d'un sistema d'equacions no trivial a cada pas de temps. En general els métodos explícits requerixen menor temps de computació que els métodos implícits encara que freqüentment presenten el problema de no ser incondicionalment convergents, i requerixen evaluar primer el pas de temps màxim per a que la computació siga numèricament estable.
• Métodos incondicionalment/condicionalment convergents, un método d'integració numèrica és incondicionalment convergent quan l'aproximació numèrica calculada per mig del mateix no divergix exponencialment de la solució exacta. Entre els métodos implícits alguns són incondicionalment convergents només per a certa elecció fixa dels paràmetros del método. En canvi, els métodos explícits solen ser condicionalment convergents pero no incondicionalment convergents, per lo que el pas de temps usat en l'esquema de diferències finitas deu ser menor que cert valor:

Sent ${\omega }_k$ les freqüències pròpies del sistema (1).

Vore també

• Dinàmica
• Sistema dinàmic