Anell dels número entero

Archiu:Definirea inelului întregilor (teorema Malţev).png

Definició de l'anell d'número entero.

En matemàtiques, la frase anelle dels número entero es pot referir a

• l'anell de tots els sancers (positius, negatius o zero), usualment indicat com Z.
• donat un camp numèric algebraic K, els sancers algebraics continguts en K formen un anell, el anell dels sancers de K, comunament indicat com O_K o ${𝒪}_K$.

Usant esta notació, es pot escriure Z = O_Q ya que Z és l'anell de sancers del camp Q de número racional. I en efecte per esta raó, en la teoria algebraica de números els elements de Z són comunament cridats els "sancers racionals".

Propietats

L'anell dels número entero O_K té una base integral; lo que significa que existix b₁,...,b_n ∈ O_K (la base integral) tal que cada element x en O_K pot ser unívocamente representat com

$x=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i,$

en a_i ∈ Z.

Si ζ és la p-iésima raïl de l'unitat i K=Q(ζ) és el camp ciclotòmic corresponent, llavors una base integral d'O_K està donada per (1,ζ,ζ²,...,ζ^p-2).

Si d és un sancer quadràtic lliure i K=Q(d^1/2) és el camp quadràtic corresponent, llavors una base integral d'O_K està donada per (1,(1+d^1/2)/2) si d≡1 (mod 4) i per (1,d^1/2) si d≡2 o 3 (mod 4).

Vore també

• Sancer quadràtic