Anex:Derivada de la funció logarítmica i la funció exponencial.

A continuació anem a deduir la derivada de la funció logaritmo de base apropiada qualsevol i la derivada de la funció exponencial. Es considerarà més alvance la definició de $e^x$

Aixina és com queda puix definida $e^x:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n$ incloent-li en el zero.

Derivada de la funció logarítmica base a

Siga la funció logaritmo base a: $f(x)={\log }_{a}x$, per la definició de derivada:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_{a}x}{h}$

Per les propietats dels logaritmos tenim que:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{\frac{1}{h}}=\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{(1+\frac{h}{x})}^{\frac{1}{h}}$

Que podem transformar en:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{\log }_{a}x& =\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{\left[{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\right]}^{\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1}{x}\underset{h\to 0}{\lim }{\log }_a{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_a\left[\underset{h\to 0}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}\right]\end{array}$

introduint un canvi de variable resulta :

$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+\frac{1}{\frac{x}{h}})}^{\frac{x}{h}}=\underset{y\to 0}{\lim }{(1+y)}^{\frac{1}{y}}$

Com s'aprecia en la definició vista anteriorment este últim llímit és el número i, tenim puix que:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x}{\log }_a(e)$

O, lo que és lo mateix:

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln (a)}$

En el cas particular del logaritmo natural:

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

Ya que $\ln e=1$.

Derivada de la funció exponencial

Partim d'una funció exponencial $f(x)=a^x$. Anem a usar la derivada de la funció inversa:

$[f^{-1}{]}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }[f^{-1}(a)]}$

Ya que $a^x$ i ${\log }_{a}x$ són funcions inverses, tenim que:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{a}^x& =\frac{1}{[\frac{1}{x}{\log }_a(e)]\circ [a^x]}\\ & =\frac{1}{[\frac{1}{a^x}{\log }_a(e)]}\\ & =\frac{a^x}{{\log }_a(e)}\end{array}$

O lo que és lo mateix:

$\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$

En el cas concret que $a=e$, tenim que:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

Ya que $\ln e=1$.