Aproximació llineal

Archiu:TangentGraphic2.svg

Llínea tangente en (a, f(a))

En matemàtiques, una aproximació llineal és una aproximació d'una funció qualsevol usant una transformació llineal. Per eixemple, donada una funció diferenciable f d'una variable real, es pot expressar (generalisada en el Teorema de Taylor) de la següent manera:

$f(x)=f(a)+f{}^{\prime }(a)(x-a)+o(x)$

a on $o(x)$ és una funció que representa l'error usant la notació de Landau (Aixina, $o(x)/x$ tendix a 0 quan $x$ tendix a $a$). L'aproximació s'obté en despreciar la suma d'esta funció error.

$f(x)\approx f(a)+f{}^{\prime }(a)(x-a)$

La qual cosa és cert per als valors de x propencs a a. L'expressió dreta és la de la recta tangente a la gràfica de f en a. Per esta raó també es diu aproximació de la recta tangente

Eixemple

1.Per a trobar l'aproximació llineal de $\sqrt[3]{25}$ es fa lo següent:

1. Considere's la funció $f(x)=x^{1/3}.$
2. Es té la derivada:

   $f{}^{\prime }(x)=1/3*x^{-2/3}.$

3. Segons lo ya vist,

   $f(25)\approx f(27)+f{}^{\prime }(27)(25-27)=3-2/27.$

4. El resultat, 2.926, està raonablement prop del valor que pot donar una calculadora 2.924…

Vore també

• Linealización