Argument de Eckmann-Hilton

En matemàtica, el argument ( o principi o teorema) de Eckmann-Hilton és un argument sobre parells d'estructures de monoide sobre un conjunt a on un és un homomorfisme per a l'atre. Donat açò, es pot mostrar que les estructures coincidixen, i el monoide resultant és, demostrablemente, conmutativo. Açò pot usar-se per a provar la conmutatividad dels grups de homotopía superiors.

Presentació

Com serà evident despuix, és molt inconvenient postular l'existència d'identitatés en el tractament bàsic de l'argument. Per tant comencem en magma, en l'objectiu d'apuntar a estructures monoidales conmutativas.

Cas No Monoidal

Siga Mag la categoria dels magma (i..i. operacions binarias), considerem les condicions implicades per la sola existència d'objectes magma lo que dona lloc a Med la categoria medial.

(expressions com "abeliano", "centrat", "afí", "medial", "dicotòmic" o "preconvexo" són generalisacions per a objectes magma pero eliminem les comillas) Eixemple bàsic de medialidad pura : x T i = a(x) + b(i) + t en un semigrupo conmutativo (no necessàriament en element identitat) en a i b endomorfismes que commuten entre sí i t un element fix del semigrupo. En este eixemple 0 T 0 = t si 0 és neutre del semigrupo.

Eixemple bàsic de medialidad o abelianidad (vell) (és dir un objecte auto-magma en una operació binaria T que satisfà (x T i) T (o T z) = (x T o) T (i T z)) x T i = a(x) + b(i) + t purs en un semigrupo conmutativo (no necessàriament en identitat) en a i b endomorfismes que commuten i t un element fix en el semigrupo. Açò generalisa als semigrupos conmutativos la noció de combinació llineal i afí.

Diem que una operació medial està centrada si admet algun idempotent cancelativo bilátero (un centre).

Ara, si tenim una operació medial centrada (siga c un centre), definim a(x) = x T c i b(i) = c T i, com la cancelatividad exigix, tenim contracció d i i tals que d(a(x)) = x i i(b(i)) = i, si d i i són biyectivas, es pot definir x + i = d(x) T i(i), esta és medial també, c és la seua identitat i reconstruïx x T i = a(x) + b(i), per tant un cas de l'eixemple bàsic. Pero en Mag podem estendre un endomorfisme inyectivo, aixina que l'extensió de b o a = a o b dona una extensió a un eixemple bàsic. Inversamente, assumixca que l'eixemple bàsic és sobre un monoide conmutativo en x T i = a(x) + b(i), com a(0) = 0 = b(0) llavors 0 T 0 = 0 és dir idempotent i x T 0 = a(x), 0 T i = b(i).

Definicions: Una operació és afí si és medial i idempotent. Una combinació llineal d'número real a.x + b.i es diu afí si i només si a + b = 1, pero açò, per supost, significa a.x + b.x = x per a tot el x. Diem que una operació afí és central si tots els elements són cancelativos biláteros. Diem que una operació afí és dicotòmica si és conmutativa. L'única combinació afí d'número real que és conmutativa és x T i = ½x + ½i. Diem que una operació dicotòmica central és preconvexa.

Estes idees es poden utilisar per a començar la caracterisació dels número real. (vore Va escardar, Simpson sobre ½x + ½i i), lo que és més important, soluciona el problema de la categoria mètrica: els morfismos mètrics són funcions curtes (o contracció dèbils o 1-Lipschitz); fins ara, tot be. Pero per a espais de Banach açò dona una contradictio in adjecto: ¡no hi ha espais de Banach de funcions curtes llineals contínues, solament boles unitàries de Banach de funcions curtes llineals! Pero les boles unitat no són aditivamente tancades, només ½x + ½i tancat (convexo). Pero hem demostrat que la clausura no necessita ser monoidal, a penes medial en el sentit auto objecte magma, que és el sentit verdader de Eckmann-Hilton. (0 no és una identitat per a ½x + ½i, a penes un (tipo de) "centre"). Pero la extensió reconstructiva recent presentada és, exactament, l'espai de Banach en la seua estructura monoidal.

Vore també

• Àlgebra universal