Congruència (geometria)

Congruència (geometria)

Archiu:Congruent senar-congruent triangles.svg

Un eixemple de congruència. Els dos triànguls de l'esquerra són congruents, mentres que el tercer és similar a ells. L'últim triàngul no és ni congruent ni semblant a cap dels atres. La congruència permet modificar algunes propietats, com la posició i l'orientació, pero no modifica unes atres, com la distància i el àngul. Les propietats que no canvien es diuen invariantes.

En geometria, dos figures o objectes són congruents si tenen la mateixa forma i tamany, o si una té la mateixa forma i tamany que la image especular de l'atra.

Una congruència queda determinada coneixent dos parells de punts homòlecs. Més formalment, dos conjunts de punts es denominen congruents si, i solament si, un pot transformar-se en l'atre per mig d'una isometría, és dir, una combinació de moviments rígits, a saber, una translació, una rotació i una reflexió. Açò significa que qualsevol dels objectes pot reposicionarse i reflectir-se (pero no redimensionarse) de modo que coincidixca exactament en l'atre objecte. Per lo tant, dos figures planes distintes en un tros de paper són congruents si es poden retallar i després fer coincidir completament. Es permet donar el regrés al paper.

La congruència és un moviment directe del pla, en conservar-se les distàncies i l'orientació de les figures.

Este diagrama ilustra el principi geomètric de congruència àngul-àngul-costat triàngul: donats el triàngul ABC i el triàngul A'B'C', el triàngul ABC és congruent en el triàngul A'B'C' si i només si: l'àngul CAB és congruent en l'àngul C'A'B', i l'àngul ABC és congruent en l'àngul A'B'C', i BC és congruent en B'C'. Nota hatch marks s'usen ací per a mostrar igualtats d'ànguls i costats.

En geometria elemental la paraula congruent s'usa a sovint de la següent manera. La paraula igual s'usa a sovint en lloc de congruent per a estos objectes. Dos segment de llínees són congruents si tenen la mateixa llongitut. Dos ànguls són congruents si tenen la mateixa mida. Dos círculs són congruents si tenen el mateix diàmetro.

En este sentit, dos figures planes són congruents implica que els seus corresponents característiques són congruents o iguals incloent no només els seus corresponents costats i ànguls, sino també les seues corresponents diagonals, perímetros i àrees.

El concepte relacionat de semblança s'aplica si els objectes tenen la mateixa forma pero no necessàriament el mateix tamany. (La majoria de les definicions consideren que la congruència és una forma de semblança, encara que una minoria exigix que els objectes tinguen tamanys diferents per a calificar-los de semblants).

Concepte

Dos o més figures són congruents si es complix que són equivalents tant en forma com en tamany, és dir si els seus costats i els seus ànguls respectius tenen la correspondiencia en la mida, encara que la seua posició i orientació siguen distintes.

El símbol de congruència és ( ≅ ).

Les parts coincidentes de les figures congruents es diuen homòlogues o corresponents.

En matemàtiques, dos figures geomètriques són congruents si tenen les mateixes dimensions i la mateixa forma sense importar la seua posició o orientació, és dir, si existix una isometría que els relaciona: una transformació que pot ser de translació, rotació o reflexió. Les parts relacionades entre les figures congruents es diuen homòlogues o corresponents.

Determinació de la congruència de polígons

Els quadrilàters taronja i verda són congruents; el blau no ho és en ells. Els tres tenen el mateix perímetro i àrea. (L'ordenació dels costats del quadrilàter blau és "mixta", lo que fa que dos dels ànguls interiors i una de les diagonals no siguen congruents).

Per a que dos polígons siguen congruents, deuen tindre el mateix número de costats (i, per tant, el mateix número de vèrtiços). Dos polígons en n costats són congruents si i només si cada u té seqüències numèricament idèntiques (inclús en el sentit de les agulles del rellonge per a un polígon i en el sentit contrari per a l'atre) costat-àngul-costat-àngul-... per a n costats i n ànguls.

La congruència de polígons pot establir-se gràficament de la següent manera:

Primer, emparellar i etiquetar els vèrtiços corresponents de les dos figures. En segon lloc, dibuixa un vector des d'un dels vèrtiços d'una de les figures fins al vèrtiç corresponent de l'atra figura. Trasllada la primera figura per mig d'este vector per a que estos dos vèrtiços coincidixquen. Tercer, gira la figura traslladada al voltant del vèrtiç corresponent fins que un parell de costats corresponents coincidixquen. Quarto, reflectir la figura rotada sobre este costat coincidente fins que les figures coincidixquen.

Si en algun moment no es pot completar el pas, els polígons no són congruents.

Definició de congruència en geometria analítica

En la geometria euclidiana, la congruència és equivalent a igualtat matemàtica en aritmètica i àlgebra. En geometria analítica, la congruència pot ser definida aixina: dos figures determinades per punts sobre un sistema i per de coordenades cartesianas són congruents si i solament si, la distància euclidiana entre qualsevol parell de punts de la primera figura és igual a la distància euclidiana entre els punts corresponents de la segona figura

Definició formal: Dos subconjunts A i B d'un espai euclídeo ${ℝ}^n$ són cridats congruents si existix una isometría $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ en $f(A)=B$.

Ànguls congruents

Els ànguls oposts són congruents degut a que una rotació de 180° sobre el seu vèrtiç fa coincidir un i l'atre.

• 
  Els ànguls $\alpha$ i $\beta$ són congruents i oposts pel vèrtiç.
• 
  Una recta que talla dos paraleles generen ànguls congruents.
• 
  Els ànguls oposts d'un paralelogramo són congruents.

Congruència de triànguls

Dos triànguls són congruents quan els seus costats corresponents tenen la mateixa llongitut i els seus ànguls corresponents tenen la mateixa mida.

Simbòlicament, escrivim la congruència i incongruència de dos triànguls △ABC i △A′B′C′ com seguix:

$ABC\cong A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

$ABC≆A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

En molts casos n'hi ha prou en establir l'igualtat de les tres parts corresponents i utilisar un dels següents resultats per a deduir la congruència dels dos triànguls.

Notació: Si dos triànguls $\mathrm{△}ABC$ i $\mathrm{△}DEF$ són congruents, açò es notarà com:

$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\cong \mathrm{△}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$

Criteris de congruència de triànguls

Criteris per a establir que dos triànguls siguen congruents en un mínim de condicions, a voltes cridat de forma genèrica postulats o teoremes de congruència ya que encara que trivials es tenen que demostrar. En principi es busca construir triànguls congruents en el mínim d'informació sobre est.

1. Cas AAL o ALA: Dos triànguls són congruents si tenen iguals dos dels seus ànguls respectius i el costat entre ells. En un triàngul si coneixem dos dels seus ànguls el tercer àngul queda unívocamente determinat.

• ALA
  ALA
• AAL
  AAL

2. Cas LAL: Dos triànguls són congruents si tenen dos costats iguals i el mateix àngul comprés entre ells.

• LAL
  LAL

3. Cas LLL: Dos triànguls són congruents si tenen els tres costats iguals.

4. Cas LLA: Dos triànguls són congruents si tenen dos costats i l'àngul sobre un d'ells iguals. Este cas no és de congruència si no donem més informació sobre el triàngul, com la de ser triàngul rectàngul o si té o no ànguls obtusos.

Costat-costat-àngul

La condició LLA (costat-costat-àngul) que especifica dos costats i un àngul no inclós (també coneguda com ASS, o àngul-costat-costat) no demostra per sí mateixa la congruència. Per a demostrar la congruència es necessita informació adicional, com la mida dels ànguls corresponents i, en alguns casos, les llongituts dels dos parells de costats corresponents. Hi ha alguns casos possibles:

Si dos triànguls complixen la condició SSA i la llongitut del costat opost a l'àngul és major o igual que la llongitut del costat adjacent (SSA, o costat llarc-costat curt-àngul), llavors els dos triànguls són congruents. El costat opost és a voltes més llarc quan els ànguls corresponents són aguts, pero és sempre més llarc quan els ànguls corresponents són rectes o obtusos. Quan l'àngul és recte, també conegut com a postulat de l'hipotenusa-cama (HL) o condició de l'àngul recte-hipotenusa-costat (RHA), el tercer costat pot calcular-se per mig del teorema de Pitágoras, lo que permet aplicar el postulat de la SSS.

Si dos triànguls complixen la condició SSA i els ànguls corresponents són aguts i la llongitut del costat opost a l'àngul és igual a la llongitut del costat adjacent multiplicada pel sen de l'àngul, llavors els dos triànguls són congruents.

Si dos triànguls complixen la condició SSA i els ànguls corresponents són aguts i la llongitut del costat opost a l'àngul és major que la llongitut del costat adjacent multiplicada pel sen de l'àngul (pero menor que la llongitut del costat adjacent), llavors no es pot demostrar que els dos triànguls siguen congruents. Est és el cas ambigu i es poden formar dos triànguls diferents a partir de l'informació donada, pero si es dispon de més informació que els distinguixca es pot demostrar la congruència.

Àngul-àngul-àngul

En geometria euclídea, AAA (àngul-àngul-àngul) (o simplement AA, ya que en geometria euclídea els ànguls d'un triàngul sumen 180°) no proporciona informació sobre el tamany dels dos triànguls i, per tant, només demostra similitut i no congruència en l'espai euclídeo.

No obstant, en geometria esfèrica i geometria hiperbòlica (a on la suma dels ànguls d'un triàngul varia en el tamany) AAA és suficient per a la congruència en una curvatura donada de la superfície.

Plantilla:Anchor CPCTC

Este acrònim de l'anglés Corresponding Parts of Congruent Triangles llaure Congruent, que significa Parts corresponents de triànguls congruents són congruents, que és una versió abreviada de la definició de triànguls congruents.

En més detall, és una manera de dir que si els triànguls ABC i DEF són congruents, és dir,

$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF,$

en els corresponents parells d'ànguls en els vèrtiços A i D; B i I; i C, i en els corresponents parells de costats AB i DE; BC i EF; i CA i FD, llavors les següents afirmacions són certes:

$\overline{AB}\cong \overline{DE}$

$\overline{BC}\cong \overline{EF}$

$\overline{AC}\cong \overline{DF}$

$\mathrm{\angle }BAC\cong \mathrm{\angle }EDF$

$\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }DEF$

$\mathrm{\angle }BCA\cong \mathrm{\angle }EFD.$

L'enunciat s'utilisa a sovint com a justificació en les proves de geometria elemental quan es necessita una conclusió de la congruència de les parts de dos triànguls despuix d'haver establit la congruència dels triànguls. Per eixemple, si s'ha demostrat que dos triànguls són congruents pel criteri SSS i en una demostració es necessita una afirmació de que els ànguls corresponents són congruents, llavors CPCTC pot usar-se com a justificació d'esta afirmació.

Una teorema relacionada és CPCFC', en el que triànguls se substituïx per figures de modo que la teorema s'aplica a qualsevol parell de polígons o poliedres que siguen congruents.

Determinació de la congruència de polígons

Els quadrilàters taronja i verda són congruents; el blau no ho és en ells. Els tres tenen el mateix perímetro i àrea. (L'ordenació dels costats del quadrilàter blau és "mixta", lo que fa que dos dels ànguls interiors i una de les diagonals no siguen congruents).

Per a que dos polígons siguen congruents, deuen tindre el mateix número de costats (i, per tant, el mateix número de vèrtiços). Dos polígons en n costats són congruents si i només si cada u té seqüències numèricament idèntiques (inclús en el sentit de les agulles del rellonge per a un polígon i en el sentit contrari per a l'atre) costat-àngul-costat-àngul-... per a n costats i n ànguls.

La congruència de polígons pot establir-se gràficament de la següent manera:

Primer, emparellar i etiquetar els vèrtiços corresponents de les dos figures. En segon lloc, dibuixa un vector des d'un dels vèrtiços d'una de les figures fins al vèrtiç corresponent de l'atra figura. Trasllada la primera figura per mig d'este vector per a que estos dos vèrtiços coincidixquen. Tercer, gira la figura traslladada al voltant del vèrtiç corresponent fins que un parell de costats corresponents coincidixquen. Quarto, reflectir la figura rotada sobre este costat coincidente fins que les figures coincidixquen.

Si en algun moment no es pot completar el pas, els polígons no són congruents.

Definició de congruència en geometria analítica

En sistema euclidiano, la congruència és fonamental; és la contrapartida de l'igualtat per als números. En geometria analítica, la congruència pot definir-se intuitivamente aixina: dos mapeados de figures sobre un sistema de coordenades cartesianas són congruents si i només si, per a dos punts qualssevol del primer mapeado, la distància euclídea entre ells és igual a la distància euclídea entre els punts corresponents del segon mapeado.

Una definició més formal establix que dos subconjunts A i B del espai euclídeo Rⁿ es diuen congruents si existix una isometría f: Rⁿ → Rⁿ (un element del grup euclídeo I(n)) en f(A) = B. La congruència és una relació d'equivalència.

Seccions còniques congruents

Dos seccions còniques són congruents si les seues excentricitats i un atre paràmetro distint que les caracterisa són iguals. Les seues excentricitats establixen les seues formes, l'igualtat de les quals és suficient per a establir la semblança, i el segon paràmetro establix el tamany. Ya que dos circumferèncias, paràboles o hipérboles rectangulars sempre tenen la mateixa excentricitat (0 en el cas de les circumferències, 1 en el cas de les paràboles i $\sqrt{2}$ en el cas de les hipérboles rectangulars), dos circumferències, paràboles o hipérboles rectangulars només necessiten tindre un atre paràmetro comú, que establixca el seu tamany, per a ser congruents.

Poliedres congruents

Per a dos poliedres en el mateix tipo combinatori (és dir, el mateix

número I d'arestes, el mateix número de cares, i el mateix número de costats en les cares corresponents), existix un conjunt de mides I que pot establir si els poliedres són o no congruents. El número és ajustat, lo que significa que menys de I mides no són suficients si els poliedres són genèrics entre el seu tipo combinatori. Pero menys mides poden funcionar per a casos especials. Per eixemple, els gavetas tenen 12 arestes, pero basten 9 mides per a decidir si un poliedre d'eixe tipo combinatori és congruent en una gaveta regular dau.

Vore també

Relacions aritmètiques entre ànguls:

• Ànguls complementaris
• Ànguls suplementaris
• Ànguls explementarios

Relacions posicionals entre ànguls:

• Ànguls adjacents
• Ànguls consecutius
• Ànguls oposts pel vèrtiç
• Ànguls interiors i exteriors

Determinats per dos paraleles i una transversal

• Ànguls corresponents
• Ànguls alterns

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Congruència (geometria).
• https://web.archive.org/web/20110905041903/http://www.uv.es/ivorra/libros/geometria.pdf
• The SSA en Cut-the-Knot.