Cuantil

Archiu:Iqr with quantile.png

Els cuartiles 0,25; 0,50 i 0,75 de la distribució normal -més coneguts com els cuartiles Q_1, Q_2 i Q_3-, dividixen la distribució en quatre blocs, cada u dels quals conté el 25% de les senyes.

Els cuantiles són punts presos a intervals regulars de la funció de distribució d'una variable aleatòria.

El terme cuantil va ser usat per primera volta per Kendall en 1940. El cuantil d'orde p d'una distribució (en 0 < p < 1) és el valor de la variable $x_p$ que marca un tall de modo que una proporció p de valors de la població és menor o igual que $x_p$. Per eixemple, el cuantil d'orde 0,36 deixaria un 36% de valors per davall i el cuantil d'orde 0,50 es correspon en la mijana de la distribució.

Els cuantiles solen usar-se per grups que dividixen la distribució en parts iguals; enteses estes com a intervals que comprenen la mateixa proporció de valors. Els més usats són:

• Els cuartiles, que dividixen a la distribució en quatre parts (corresponen als cuantiles 0,25; 0,50 i 0,75);
• Els quintiles, que dividixen a la distribució en cinc parts (corresponen als cuantiles 0,20; 0,40; 0,60 i 0,80);
• Els deciles, que dividixen a la distribució en dèu parts;
• Els percentiles, que dividixen a la distribució en cent parts.

En el càlcul de cuantiles en distribucions de variable contínua (per eixemple, en senyes agrupades) pot conseguir-se fàcilment que les parts en que es dividix la distribució siguen exactament iguals. No obstant, en les distribucions de variable discreta (com el cas de senyes aïllades) devem conformar-nos en que estes parts siguen aproximadament iguals. Per desgràcia, no hi ha consens sobre cóm realisar esta aproximació, existint en la lliteratura científica nou métodos diferents, que conduïxen a resultats diferents. Per això, en calcular qualsevol cuantil de senyes no agrupades per mig de calculadora, software o manualment, és bàsic el saber i indicar el método utilisat.

La funció que a cada p li assigna el punt de tall $x_p$, és dir, el valor del cuantil d'orde p, es denomina funció cuantil.

Càlcul de cuantiles de senyes agrupades en intervals

Calcularem el cuantil d'orde 0,30 de l'edat de la població d'un llogaret resumit en la taula:

Edat de la Població	Habitants	Freqüència Acumulada
0-20	9	9
20-40	18	27
40-60	26	53
60-80	7	60
80-100	4	64

El nostre primer pas serà trobar l'interval en que es troba el nostre cuantil: D'un total de 64 senyes, el cuantil 0,30 ocuparà la posició np=64×0,3=19,2. Observem en la columna de freqüències acumulades que este valor, per estar comprés entre 9 i 27, correspon a l'interval 20-40.

Dins d'este interval, seleccionarem el valor del nostre cuantil per simple interpolació llineal. Per a això, seguint les indicacions del gràfic, solament serà necessari fer una regla de tres.

Archiu:Kuantilhist eu.svg

Observem en la figura dos triànguls semblants: OAB i OCD. El cuantil buscat correspondrà a l'abscissa 20+x. Raonant per semblança, OB=x és a AB=10,2, com OD=20 és a CD=18. Rebujant obtenim x=11,33, després el cuantil buscat és a 20+x=31,33.

Vore també

• Diagrama de caixa per a la representació gràfica dels cuartiles.
• Funció cuantil
• Mides de tendència central
• Ranc intercuartil