Derivada ordinària

Es dona

i = f(x),

una funció definida en un cert interval obert, que es va a considerar el seu domini. A qualsevol valor de x en tal interval li correspon un valor determinat de la funció i = f(x).

S'admet que x₀ siga un valor fix de l'interval, al com li correspon el valor f(x₀). De modo que hi ha una variació dels valors de la funció f(x) -f(x₀) i la variació en els valors de domini: x - x₀.

es considera la raó de la variació de la funció a la dels elements del domini:

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Es troba el llímit d'esta raó quan $\underset{x\to x_0}{\lim }$. En cas d'existir este llímit es diu derivada ordinària de la funció donada f(x) en x₀ i es denota $f^{\prime }(x_0)$

o siga formalment

Definició

Al llímit , en cas d'existir, es diu derivada ordinària de f en x₀.. A esta fòrmula es coneix com la Notació de Leibniz

Notacions

1. $f^{\prime }(x_0)$
2. $\frac{df(x_0)}{dx}$
3. $D_{x}f(x_0)$
4. $\dot{y}=\frac{dy}{dx}$ , es va suprimir el seu us en 1915 en Gran Bretanya

Eixemple

Siga la funció definida per $f(x)=\sqrt{x}$

evaluació en x₀ dona: $\sqrt{x_0}$

diferència $\sqrt{x}-\sqrt{x_0}$, racionalisant $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{x_0})=\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}$

cocient $\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\cdot \frac{1}{x-x_0}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}$

finalment el llímit: $\frac{df(x_0)}{dx}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$

Interpretacions

En la física la velocitat instantànea es considera com la derivada de l'espai sobre el temps en un instant donat.

• En la geometria analítica, la derivada es considera el valor de la pendent d'una recta tangente a una curva considerant que les secantes s'acosten com a posició llímit a dita tangente.
• En química la velocitat de dissolució de sal en relació en la concentració en un instant donat.
• Es considera que la capacitat calòrica és la derivada de la capacitat de calor respecte a la temperatura.

Vore també

Funció d'una variable

• Interval obert
• Llímit
• Recta tangente
• Extrems d'una funció