Desigualtat de Hardy

La desigualtat de Hardy és una desigualtat matemàtica cridada aixina per G.H. Hardy. Esta desigualtat afirma que si $a_1,a_2,a_3,\dots$ és una successió de número real no negatius que no és idénticamente nula, llavors per a qualsevol número real p > 1 es té

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^p<{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p.$

Una versió integral de la desigualtat de Hardy afirma que si f és una funció integrable a valors no-negatius, llavors

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx$

en igualtat si i solament si f(x) = 0 casi en tots els llocs.

Història

La desigualtat de Hardy va ser publicada i demostrada per primera volta (a lo manco en la seua versió discreta i involucrant una constant no-optimal) en 1920 en una nota de Hardy.