Desigualtat de la suma de Chebyshov

Pel títul d'esta.Ajuda

La desigualtat de la suma de Chebyshov, deu el seu nom al matemàtic rus Pafnuti Chebyshov.

Formulació

La desigualtat de la suma de Chebyshov establix que si:

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n}

i

b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n},

llavors:

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \cdot b_{k} \geq (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

De la mateixa manera, si:

a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{n}

i

b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n},

llavors:

\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \leq (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}) (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}) .

^[1]

Considere's la suma:

S = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} (a_{j} - a_{k}) (b_{j} - b_{k}) .

Si les dos seqüències no s'incrementen, llavors:

$a j - a k$ i $b j - b k$

tenen el mateix signe per a qualsevol $j, k$ . Per lo tant $S \geq 0$ .

Resolent els paréntesis, es deduïx que:

0 \leq 2 n \sum_{j = 1}^{n} a_{j} b_{j} - 2 \sum_{j = 1}^{n} a_{j} \sum_{k = 1}^{n} b_{k},

a on:

\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{j} b_{j} \geq (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{j}) (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} b_{k}) .

Una demostració alternativa es pot obtindre en el procediment de reordenació de desigualtat.

↑ Hardy, G. H. (1988). Inequalities, Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.

Este artícul conté una traducció derivada de «Desigualdad de la suma de Chebyshov» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.