Disseny experimental

Disseny experimental

Eixemple de disseny de tres factors (variables) basat en un model geomètric.

El disseny experimental o disseny d'experiments, es referix al procés previ de planificació d'un experiment en la finalitat de recopilar les senyes adequades, que posteriorment tractats de forma adequada, permeten extraure conclusions vàlides i objectives. Per a alcançar estos objectius i en la finalitat de que les conclusions no estiguen someses a biaix algun, és molt convenient i important que el tractament de les senyes obtingudes a partir del disseny siga portat a terme per mig de métodos estadístics. En realitat, quan el problema involucra senyes subjectes a errors experimentals, cosa molt habitual, la metodologia estadística és l'únic enfocament objectiu per a l'anàlisis.

En la seua forma més simple, per mig del disseny experimental es busca predir el resultat final d'un experiment introduint un canvi en les precondicions experimentals (p. i., temperatura, pressió, etc.), representades per una o més variables independents, també conegudes com a factors. De l'elecció adequada d'estos factors i de la magnitut dels mateixos depén el resultat final de l'experiment. Este resultat rep el nom de "variable de resposta" o resposta experimental. El disseny experimental també pot buscar i identificar aquelles variables de control que deuen mantindre's constants per a evitar que factors externs afecten als resultats. Per tant, el disseny experimental implica no solament la selecció de variables independents, depenents i de control adequades, sino també la planificació de l'eixecució de l'experiment en condicions estadísticament òptimes, donades les llimitacions dels recursos disponibles.

El disseny experimental troba aplicacions en l'indústria, l'agricultura, la mercadotècnia, la medicina, l'ecologia, les ciències de la conducta, etc. constituint una fase essencial en el desenroll d'un estudi experimental.

Introducció històrica

Els investigadors realisen experiments en pràcticament tots els camps d'investigació científica o tècnica, en la finalitat de descobrir alguna cosa sobre un procés o sistema en particular. Lliteralment, un experiment és una prova o més foralment, un conjunt de proves en les que es realisen canvis intencionats en les variables d'entrada (factors) d'un procés o sistema per a poder observar i identificar les raons dels canvis que puguen observar-se en la resposta d'eixida (resposta experimental). Qualsevol d'estos experiments requerixen d'una planificació prèvia i depenent de cóm es realise esta, el resultat final pot variar en gran mida. Un experiment en un bon disseny i un model adequat no solament proporciona més informació, sino que també permet conseguir condicions experimentals òptimes, mentres que un experiment en un disseny fallanc pot proporcionar informació molt deficient.

En sentit ampli, un disseny experimental no és més que un pla per a descobrir o provar conexions causals, sent l'experiment l'eixecució de dit pla. En un sentit més restringit, el disseny experimental inclou l'idea de que l'investigador provoca un fenomen en lloc d'esperar a que ocórrega. Per tant, és possible conjeturar que ya l'home primitiu realisava experiments sobre la base d'un pla. Això li va permetre, per eixemple, diferenciar les plantes medicinals de les venenoses, establir el método més efectiu per a caçar animals o introduir millores en les seues ferramentes. No obstant, estos experiments, en la seua majoria, no es basaven en un estudi sistemàtic de les condicions experimentals, com establix el principi del disseny experimental, sino, més be en ensajos de prova i error en els que rara volta es modificava més d'una variable. Este tipo de proves basades en ensaig i error no solen ser molt eficaços, encara que no vol això dir que no puguen terminar en importants millores tecnològiques o del coneiximent, puix de fet s'han vingut utilisat des de les albors de la humanitat en major o menor èxit. Lo que ocorre és que a sovint redunden en un consum de temps i d'inversió econòmica alt, puix no sempre les millores entre dos proves són apreciables, podent donar-se el cas de que en algunes ocasions els resultats de verificació siguen inclús pijor, lo que obliga al experimentador a tornar cap a arrere i en casos extrems a replantejar novament el procés d'optimisació. És a partir del Renaixença quan comencen a assentar-se les bases llògiques de lo que després serà el raonament experimental, apareixent les primeres sistematisació rellevants sobre procediments experimentals; és dir, en l'aparició del método científic.

L'ocupació de la metodologia estadística en l'experimentació científica i tècnica va escomençar a utilisar-se en el XIX, sent el filòsof-científic Charles S. Peirce qui va desenrollar una teoria de l'inferència estadística en "Ilustracions de la llògica de la ciència" (1877-1878) i "Teoria de l'inferència provable" (1883), dos publicacions que varen emfatisar l'importància de l'inferència basada en la aleatorizació en estadística. Peirce també va realisar dissenys cegos de mides repetides per a evaluar la seua capacitat per a discriminar pesos. Este experiment de Peirce va inspirar a atres investigadors en psicologia i educació, els qui varen desenrollar una tradició d'investigació d'experiments aleatoris en laboratoris i llibres de text especialisats en el XIX. Durant el XIX i començos de el XX es varen assentar les bases de les ferramentes estadístiques per al disseny i optimisació dels experiments. Joseph Diaz Gergonne va sugerir un disseny pioner per a l'optimisació per mig de models de regressió polinòmica en 1815 i el mateix Peirce també va contribuir en la primera publicació sobre un disseny òptim per a models de regressió en 1876. Ya, en el XX, en 1918, la matemàtica danesa Kirstine Smith va publicar dissenys d'optimisació per mig de models polinomis de grau sis (i menors) per lo que es considera a esta científica la creadora del camp del disseny òptim d'experiments.

No obstant, el gran pioner del disseny experimental estadístic, vist des d'un punt de vista més general, va ser Ronald A. Fisher, considerat com el pare del disseny experimental. A la llista dels pioners del seu us cal afegir els de Frank Yates, W.G. Cochran i George Edward Box. Moltes de les aplicacions originàries del disseny experimental varen estar relacionades en l'agricultura i la biologia, disciplines de les que procedix part de la terminologia pròpia de dita tècnica. Les aplicacions a l'indústria textil varen començar en la década de 1930 en Anglaterra i es varen popularisar i varen estendre a les indústries química i manufacturera d'Europa i EE. UU. despuix de la II Guerra Mundial. És de notar el seu us actual en l'indústria de l'electrònica i els semiconductors.

Fisher

Durant la década de 1920 i començ de la de 1930, el biòlec i estadístic anglés Ronald Fisher va ser el responsable de l'anàlisis de senyes i estudi estadístic de la Rothamsted Agricultural Experimental Station, en les proximitats de Londres i per mig de l'estudi de les senyes obtingudes, es percató de que certes falles en la forma en que s'havia realisat l'experiment, generaven resultats que a sovint dificultaven la seua posterior evaluació i anàlisis. Interactuant en científics i investigadors de diversos camps, va desenrollar les idees que varen conduir als principis bàsics del disseny experimental: aleatorización, replicació i maneig en blocs. Fischer va introduir sistemàticament el pensament estadístic i els principis de l'investigació experimental, incloent el concepte de disseny factorial i l'anàlisis d'varianza. Els seus llibres The Arrangement of Field Experiments (1926) i The Design of Experiments (1935), publicats en successives edicions durant gran part de el XX, varen tindre una profunda influència en l'us de l'estadística en l'experimentació científica.

Principis de Fisher

Bona part de la seua obra pionera va tractar de les aplicacions agrícoles dels seus métodos d'estadística. Per eixemple, va descriure cóm provar la hipòtesis de la catadora de té. Estos métodos estadístics s'han adaptat tant a les ciències experimentals com a les ciències socials i s'usen encara, de forma àmplia i profusa en múltiples camps de l'ingenieria i de l'indústria que es diferixen del disseny i anàlisis d'experiments de computació.

Comparació

En alguns camps d'estudi no és possible tindre mides independents que conecten a una norma de metrologia trazable. Comparacions entre tractaments es valen molt més i normalment li les preferixquen. A sovint es compara en un control científic o tractament tradicional que actua com un punt de referència.

Aleatorización

Aleatorización és el procés d'assignar individus a l'encert a grups o a grups distints en un experiment. l'assignació aleatòria a grups (o condicions adins d'un grup) distinguix a rigorosos verdaders experiments d'un estudi observacional o cuasi-experimental. Existix un cos extensiu de teoria matemàtica que explora les conseqüències d'assignar les unitats de tractament per mig d'algun método aleatori com les taules de números aleatoris, o l'us d'aparats aleatoris com a naïps o daus. Assignar unitats de tractament aleatoriament tendix a mitigar els factor de confusió, els quals fan que els efectes que no són per tractaments semblar com sí anaren resultats del tractament. Els riscs que s'associen en una assignació aleatòria (com tindre un desbalance sério en una característica clau entre un grup en tractament i un grup de control) es calculen i aixina li les dirigixen a un nivell més baix i acceptable pel fet d'usar prou unitats d'experimentació. Es poden generalisar els resultats d'un experiment de les unitats d'experimentació a una població estadística d'unitats pero solament si les unitats d'experimentació són un mostreig de la població més gran; l'error provable de tal extrapolació depén del tamany de la mostra, entre atres coses.

Rèplica estadística

Normalment se subjecten mides a la variació i l'incertitut de mides significa que li les repetixen i en experiments sancers li'ls repliquen per a ajudar a identificar els fonts de la variació, per poder estimar els efectes verdaders de tractaments, per enfortir la seua fiabilitat i la seua validea, i per agregar al coneiximent del tòpic. No obstant, necessita el compliment de certes condicions abans que la rèplica es comence: la qüestió d'investigació original s'ha publicat en una revista de revisió per parells o citat àmpliament, l'investigador és independent de l'experiment original, l'investigador deu primer intentar replicar els resultats de l'experiment original usant la data original, i el resum deu dir que l'estudi és una rèplica que intente seguir en els passos de l'original en lo més estricte possible.

Prova F de Fisher

S'utilisa per a les comparacions dels components de la desviació total. Per eixemple, en una forma, o l'ensaig ANOVA d'un sol factor, la significació estadística és provada para comparant l'estadística de la prova de F

$F=\frac{\text{variance of the group means}}{\text{mean of the within-group variances}}$

$F^{*}=\frac{\text{MSTR}}{\text{MSE}}$

a on:

1. Número de tractaments: $\text{MSTR}=\frac{\text{SSTR}}{I-1}$, I
2. Total de casos: $\text{MSE}=\frac{\text{SSE}}{n_T-I}$, n_T'

a F-distribució en el del I-1, secundari< del > n< T> /sub graus de llibertat. Usar la F-distribució és un candidat natural perque l'estadística de la prova és el cocient de dos sumes males dels quadrats que tenen a distribució del chi-quadrat.

Principis bàsics i pautes en el disseny experimental

El disseny experimental sol tindre, com a fi últim, l'establiment dels valors que deuen prendre aquells factors que afecten al resultat experimental, de manera que en el futur s'obtinguen els resultats òptims (p. i. màxim rendiment de la producció, menor cost, etc.) quan s'apliquen eixos valors. Per a alcançar este fi, en primer lloc es deuen seleccionar aquells factors més importants que tenen el major efecte sobre el resultat final buscat i basant-se en l'experiència subjectiva del experimentador fer ensajos independents per a determinar els seus valors òptims. L'èxit dependrà del nivell de coneiximent de l'expert en la matèria. Si el coneiximent és baix, la càrrega de treball podria ser considerable. Un segon enfocament en este procés d'optimisació, és el tractament sistemàtic, tant en l'investigació dels factors, com en la seua optimisació. Per a realisar un experiment de manera més eficient, es deu amprar un enfocament científic basat en criteris que eviten la subjetividad del experimentador, per ad açò es requerix un enfocament estadístic en la planificació dels experiments (disseny experimental) para, aixina, poder aplegar a conclusions vàlides i objectives.

L'enfocament estadístic en el disseny i anàlisis d'un experiment, és necessari per a que tots els involucrats en l'experiment tinguen una idea clara d'exactament qué es va a estudiar, cóm es van a recolectar les senyes i a lo manco una comprensió qualitativa de cóm es van a analisar estes senyes. Les optimisacions sistemàtiques es porten a terme d'acort en la següent seqüència general:

1. Reconeiximent i plantejament del problema. És el primer pas, i el més obvi. Cal tindre una idea clara de para qué es va a plantejar el disseny experimental i qué és lo que es vol conseguir en ell. A sovint es busca buscar les condicions de treball per a conseguir una senyal instrumental més intensa o la menys interferida, en un procés industrial, obtindre el producte en el menor temps possible, el menor cost, etc.
2. Elecció dels factors, nivells i interval. En este segon pas és necessari establir i identificar qué variables o factors afecten al resultat buscat. En considerar els factors que poden influir en el rendiment d'un procés o sistema, el experimentador sol descobrir que estos factors poden classificar-se com a factors de disseny potencials i en factors d'interferència. Quan el número de factors o variables és reduït, poden incloure's tots en el disseny experimental, pero si el número d'estos és elevat, cal fer una selecció d'aquells factors que tenen major efecte sobre el resultat experimental i en ells realisar el disseny. Una volta establits els factors que s'inclouran en l'estudi, és necessari establir l'interval de variabilitat de dits factors i els seus nivells de variació. El disseny pot ser per a dos nivells de variació (el valor màxim i el mínim de l'interval) o incloure un de més nivells intermijos. Cal tindre en conte que quant major siga el número de factors a considerar i major el número de nivells de variació d'estos, més complex i ampli serà el disseny resultant, lo que, des del punt de vista estadístic fa que el disseny siga més fiable, pero per un atre costat dispara el cost econòmic i el temps necessari per a eixecutar el disseny en la seua totalitat. En alguns casos l'objectiu de l'experiment simplement és la detecció de factors en major influència o la caracterisació de processos. En estos casos, generalment és millor mantindre baix el número de nivells de factors.

1. Selecció de la variable de resposta. És dir, que és lo qué es va a medir despuix de l'experiment o cóm es va a fer el seu seguiment. Esta variable de resposta pot ser una mida realisada en un instrument i que tinga algun tipo de relació directa en el resultat de l'experiment. Per eixemple, en un estudi estructural, pot ser la resistència a la deformació de l'objecte que es va a fabricar o del material que es va a utilisar. La variable seleccionada com a resposta experimental deu ser aquella que realment proveïxca informació útil sobre el procés baix estudi. En estudis en els que es busca l'estabilitat del resultat en el temps (p.ej. estudis sobre la deterioració de materials) la variable de resposta pot ser els valors de la mija de les rèpliques realisades a intervals de temps determinats o els valors dels seus desviacions estàndar.
2. Elecció del disseny experimental adequat. Una volta decidits els factors, l'interval i nivells dels factors i la variable de resposta, el següent pas és realisar el disseny experimental en sí. L'elecció del disseny implica consideracions relacionades en el tamany de la mostra (número de rèpliques), la selecció d'un orde d'eixecució adequat per a l'ensaig experimental i la decisió de si s'inclou algun tipo de restricció en l'ocupació de blocs o en la aleatorización.
3. Eixecució dels experiments. Una volta fet el disseny, és necessari eixecutar els experiments i fer les medicions oportunes. En realisar l'experiment, és molt important supervisar cuidadosadament el procés per a garantisar que tot es realise segons lo previst, ya que és fàcil subestimar els aspectes llogístics i de planificació de l'eixecució en un entorn complex de fabricació o investigació i desenroll. Coleman i Montgomery sugerixen que, abans de realisar l'experiment, solen ser útils algunes proves pilot.
4. Anàlisis estadístics dels resultats. Les senyes obtingudes dels diferents experiments inclosos en el disseny deuen ser evaluats per mig de procediments estadístics, en la finalitat de que les conclusions que es deriven d'ells siguen de naturalea objectiva, mai crítica.
5. Conclusions i recomanacions.

Durant tot este procés, és important tindre en conte que l'experimentació és una part important del procés d'aprenentage, a on es formulen tentatives d'hipòtesis sobre un sistema, es porten a terme experiments per a investigar estes hipòtesis i, basant-se en els resultats, es formulen noves hipòtesis, i aixina successivament, tal i com estable el método científic.

Disseny factorial

Els dissenys experimentals poden ser d'un sol factor o variable o de dos o més factors tractats simultàneament. Quan estan implicats dos o més factors en el disseny experimental (disseny multivariante o multifactorial) se sol recórrer a dissenys factorials, ya que es consideren molt eficients per a este tipo d'experiments, sobretot a l'inici d'un estudi experimental, a on encara es desconeixen els factors més influents, els seus rancs d'influència i les seues interaccions, i a que els dissenys factorials permeten realisar experiments en tot l'espectre de factors. Este tipo d'experiments permeten l'estudi de l'efecte de cada factor sobre la variable resposta, aixina com l'efecte de les interaccions entre factors sobre dita variable.

Els experiments factorials es basen en la variació simultànea de tots els factors en un número llimitat de nivells, per lo que el número total d'experiments que deuran portar-se a terme en este tipo de disseny es pot establir de bestreta, ya que matemàticament es tracten de variacions en repetició.

$N=l^k$

A on N indica el número total d'experiments en funció dels nivells, l, elegits i dels factors, k, inclosos en l'experiment. D'esta manera, en el cas de disseny factorial més senzill, el de dos factors i dos nivells en cada factor (disseny factorial de 2×2) és necessari realisar 4 experiments . Per a tres factors i dos nivells per factor, el número d'experiments serà igual a 8 (2³) o si fora para igual número de factors pero tres nivells, la cantitat total d'experiments a realisar seria N=3³; és dir 27 i aixina successivament.

Notació

En els dissenys experimentals en general, i en els factorials en particular, és freqüent codificar tant els factors, com els nivells en els que estos van a variar. Açò es fa per pura comoditat i per a aforrar espai, sobretot quan els noms dels factors són relativament llarcs o complexos i els valors dels nivells, números grans o en varis decimals, lo que dificulta la seua escritura. En qualsevol cas, res indica que no puga fer-se el disseny experimental en factors i nivells sense codificar. També és habitual escalar els valors dels nivells. El escalat consistix en transformar els valors de les variables o factors de manera que estiguen confinats en un ranc [a, b], típicament [-1, 1]. A voltes, quan en el disseny experimental es busca trobar qué factors tenen major influència sobre la resposta experimental, també se sol portar a terme una normalisació. La normalisació consistix en transformar els factors de manera que tots compartixquen un mateix valor mig i una mateixa desviació mija.

En este sentit, un disseny experimental que fòra de dos factors per a dos nivells de variabilitat de cada factor, els factors podrien codificar-se, per eixemple, com a factor A i factor B o, també, factor x₁ i factor x₂, o de qualsevol atra forma que es crea oportuna. Sobre els nivells, si van a ser dos i van a estar escalats, el nivell més baix de cada factor rep la notació -1 i el més alt +1. En este cas particular, o en atres dissenys per a dos nivells, per a simplificar, és freqüent utilisar solament els signes - i +. D'esta manera, un disseny factorial de dos factors per a dos nivells consistiria en quatre experiments (N = 2²): experiment 1; − −, experiment 2; + −, experiment 3; − +, i experiment 4; + +. També existixen atres notacions utilisades en dissenys de dos nivells, com per eixemple, denominar el nivell més baix en el valor 0 i el nivell mes alt en el valor 1. Una atra notació, quan els factors s'han codificat en lletres mayúscules, és indicar en la mateixa lletra que el factor, pero en minúscula, l'experiment del disseny en que dit factor es troba en el nivell màxim, donant per fet que l'atre es troba en el seu nivell mínim. Quan abdós factors es troben en el nivell màxim, l'experiment s'indica en abdós lletres i quan coincidix en la combinació en que tots els factors es troben en el nivell mínim, l'experiment es codifica en 1. La següent taula mostra diferents notacions per a un disseny N = 2².

Experiment	Factor		Combinació	Factor
	A (x1)	B (x2)		A (x1)	B (x2)
1	-	-	1	0	0
2	+	-	1	0
3	-	+	b	0	1
4	+	+	ab	1	1

Per a mantindre el principi de Fisher, de que els experiments deuen ser replicats i aleatorizados per a una major garantia estadística dels resultats finals, és molt recomanable que estos experiments es repetixquen vàries voltes i sempre s'eixecuten de forma aleatòria, no necessàriament en l'orde del disseny, ya que d'esta manera es minimisen certs errors sistemàtics deguts a variacions incontrolades pel experimentador.

Disseny factorial complete

Els dissenys factorials també poden fer-se per a un major número de factors o per a un major número de nivells o abdós coses al mateix temps. En la següent taula es mostra com seria un disseny factorial per a dos factors i tres nivells. En este cas, el número d'experiments (sense rèpliques) seria N = 3²; és dir nou experiments. Els factors i els nivells es mostren tant codificats com no codificats, per a una millor apreciació de les relació entre abdós. Correspon a un supost experiment en el que es busquen les condicions òptimes per a obtindre el millor rendiment en una reacció química que depén, principalment, del pH del mig i de la temperatura. Per a realisar el disseny, una volta que s'ha decidit que estos són els factors, el següent pas és establir l'interval de variabilitat de cada factor. Posem per cas, que pels coneiximents previs de que es dispon, l'interval de pH pot variar entre 3 i 9 i el de la temperatura entre 10 i 40 °C. Com el disseny va a ser per a tres nivells, es triarà el nivell més baix, el més alt i l'intermig de cada factor. En el disseny codificat estos seran [-1,0,1], que correspondran als valors dels factors 3, 6 i 9, per al pH i 10, 25 i 40 °C per a la temperatura. Una volta que s'han pres estes decisions, el següent pas és realisar tants experiments com a possibles combinacions puguen fer-se entre els factors i els nivells.

Experiment	Factor (codificat)			Factor (no codificat)
	x	i		pH	Temp. (°C)
1	1	1		9	40
2	1	0		9	25
3	1	-1		9	10
4	0	1		6	40
5	0	0		6	25
6	0	-1		6	10
7	-1	1		3	40
8	-1	0		3	25
9	-1	-1		3	10

D'igual manera, seguint el mateix procediment es poden fer dissenys factorials per a més nivells i/o para més factors. Estos dissenys factorials reben el nom de dissenys factorials complets i entre les seues principals ventages, estan la de permetre realisar experiments en tot l'interval de factors de forma equilibrada, ya que com es mostren en els eixemples anteriors, el disseny presenta certa simetria en les experiments dissenyats, esta simetria redunda en una simplificació a l'hora d'evaluar les senyes obtingudes de dits experiments.

Representació gràfica dels dissenys 2^k

Els dissenys de dos nivells poden ser representats gràficament. Açò permet visualisar ràpidament el disseny i sol ser útil a l'hora de l'interpretació de les respostes. Si el disseny és per a dos factors, la gràfica resultant és un quadrat que s'obté a partir d'un sistema binario de coordenades cartesianas en les que cada eix representa un factor. En estos casos és freqüent, encara que no sempre, codificar els factors com a x₁ i x₂ i cada experiment es representa per les seues corresponents coordenades, que per a facilitar la seua representació se solen utilisar els nivells escalats i centrats.

Dissenys factorials complets de dos i tres factors (variables) i dos nivells per variable, basats en models geomètrics. Cada experiment correspon a les coordenades dels vèrtiços.

D'igual manera es procedix per als dissenys factorials de tres factors i dos nivells (disseny 2³), en el cas del qual el gràfic serà una gaveta, els vèrtiços de la qual representen els huit experiments. Quan el disseny està dirigit a l'estudi de les respostes experimentals, els resultats de les mides corresponents a cada experiment es coloquen junt a cada vèrtiç, de manera que d'una sola mirada es pot apreciar el resultat que té cada combinació de nivells i factors sobre el resultat dels experiments.

També s'han sugerit representacions per a més de tres factors. Quan hi ha quatre factors, la representació dels setze experiments (N = 2⁴) es pot fer en dos gavetes; una gaveta pot representar el quart factor en el seu nivell inferior i l'atra gaveta gaveta pot representar el quart factor en el seu nivell superior. El número de gavetes es pot duplicar per a cada factor, pero este enfocament és menys útil en un major número de factors perque es torna cada volta més difícil prevore els efectes.

En els casos dels dissenys de més de dos nivells, també és possible representar-los gràficament, encara que a mida que aumenta el número de nivells la representació gràfica es fa més complexa. El disseny gràfic per a dos factors i tres nivells (N = 3²), els nou possibles experiments s'obtindrien a partir de les coordenades dels vèrtiços, com en el disseny 2x2, a les que cal afegir les quatre coordenades corresponents al centre de cada costat del quadrat més les coordenades del centre de la figura geomètrica. En el cas d'un disseny per a tres factors i tres nivells, a les coordenades dels vèrtiços de la gaveta (8) cal afegir les corresponents als centres de cada aresta (12), les dels centres de cada cara (6) i les coordenades del centre de la gaveta, en total, vintisset experiments (N = 3³), que també es mostren en la taula.

Experiment (coordenades)	Factor (codificat)				Experiment (coordenades)	Factor (codificat)
	x1	x2	x3			x1	x2	x3
1	1	1	1		15	0	0	-1
2	1	1	0		16	0	-1	1
3	1	1	-1		17	0	-1	0
4	1	0	1		18	0	-1	-1
5	1	0	0		19	-1	1	1
6	1	0	-1		20	-1	1	0
7	1	-1	1		21	-1	1	-1
8	1	-1	0		22	-1	0	1
9	1	-1	-1		23	-1	0	0
10	0	1	1		24	-1	0	-1
11	0	1	0		25	-1	-1	1
12	0	1	-1		26	-1	-1	0
13	0	0	1		27	-1	-1	-1
14	0	0	0

Els experiments que contenen tots els valors distints de zero corresponen a les coordenades dels vèrtiços de la gaveta; els que contenen un zero, a les arestes; els que contenen dos zeros als centres de les cares i l'experiment dels tres zeros, correspon a les coordenades del centre de la gaveta, ya que este coincidix en l'orige de coordenades.

Disseny factorial fraccionat

Sempre que el número de factors siga menut, els dissenys factorials complets poden eixecutar-se fàcilment. No obstant, en un número major de factors, el número d'experiments aumentarà dràsticament. Aixina, per a un disseny factorial en el que es consideren 4 nivells i 3 factors, es requerixen portar a terme N = 4³ = 64 experiments; per a 4 factors i 4 nivells, N = 4⁴ =256 i per a un disseny factorial de 10 factors, encara que solament es faça per a dos nivells, el número d'experiments necessaris ya s'eleva a 1024 experiments, la qual cosa pot resultar impracticable. Esta és una de les principals debilitats dels dissenys factorials complets. Per un atre costat, una cantitat tan gran d'experiments no sempre proporciona informació adicional útil o interessant; per lo tant, realisar-los tots supon una pèrdua de temps i recursos. Existixen diferents procediments per a reduir el número d'experiments. Un dels més senzills consistix en realisar solament alguns experiments, en número tal que siguen representatius del total del disseny factorial per ad açò s'han desenrollat regles per a generar un subconjunt correcte dels experiments originals. És lo que es coneix com a disseny factorial fraccionat.

Disseny factorial complet i fraccionat per a tres factors i dos nivells.

Per a entendre la mecànica de cóm es porta a terme el fraccionat del disseny, considere's un disseny senzill de tres factors i dos nivells, és dir un disseny factorial N = 2³ = 8 experiments. Ara és molt important que els nivells estiguen codificats i escalats de forma simètrica, és dir, que necessàriament al nivell més alt de cada u dels factors es codifique com 1 i al més baix -1. Si es multiplica la columna corresponent al factor x₁ per la del factor x₂ s'obté una columna denominada producte de creuament o interacció x₁•x₂ (o també, fusió x₁•x₂). Observant atentament esta columna, ràpidament es pot apreciar que en alguns casos este producte de creuament es correspon en els nivells dissenyats per a x₃. Si d'este disseny factorial complet s'extrauen aquells experiments en que es dona esta situació, s'obté un nou disseny format per quatre experiments, és dir la mitat dels inicials. Es tracta ara d'un disseny factorial fraccionat N= 2^k-p. En el cas de dos nivells en p = 1, la reducció del número d'experiments és la mitat. Són els cridats dissenys factorials de mija fracció (1/2).

Disseny complet i fraccionat per a quatre factors i dos nivells

Seguint este procediment es poden fer fraccionament de qualsevol disseny factorial complet per a dos nivells, independentment del número de factors que intervinguen en el dissenys. La columna d'interacció o creuament es fa, com en el cas anterior, multiplicant les columnes dels n-1 factors i comparant-la en la columna corresponent al factor no implicat en l'interacció. En tots els casos es conseguix reduir a la mitat en número d'experiments del disseny complet.

Si s'observa atentament els dos dissenys, el factorial complet i el fraccionat de qualsevol de les dos figures anteriors, la corresponent al dissenye N = 2³ i el corresponent al dissenye N = 2⁴ , s'aprecia en cada u d'ells certes similituts entre el disseny complet i el fraccionat:

1. En abdós dissenys la mitat dels experiments comencen pel nivell 1 i una atra mitat pel nivell -1.
2. En abdós dissenys, per a cada factor hi ha igual número d'experiments en el nivell 1 que en el nivell -1.

1.  Si observa, per eixemple en el disseny N = 2⁴ , la seqüència en que apareixen els nivells per al factor x₂ en el disseny complet (1,1,1,1, -1,-1,-1,-1,...) és la mateixa que per al factor x₁ en el disseny fraccionat. Lo mateixa ocorre entre el factor x₃ en disseny complet (1,1,-1,-1,...) respecte del x₂ en el fraccionat i entre el factor x₄ en disseny complet respecte del x₃, en el fraccionat. Seqüències similars es poden trobar en atres dissenys en un número diferents de factors.

En qualsevol cas, cal tindre en conte que a mida que es reduïx el número d'experiments, la cantitat d'informació que pot ser obtinguda a partir d'ells, també es veu reduïda. No obstant, cal tindre en conte que no totes les interaccions seran significatives i que el propòsit dels dissenys experimentals a dos nivells sol ser simplement determinar qué factors principals deuen estudiar-se en detalle posteriorment. En general, este enfocament és molt popular en moltes situacions exploratòries i té la ventaja adicional de que les senyes són fàcils d'analisar.

Atres dissenys experimentals

Ademés dels dissenys factorials, complet o fraccionat, existixen atres dissenys experimentals de diferent utilitat i adaptats a les determinades circumstàncies que poden presentar-se durant el procés experimental. Dins dels dissenys experimentals per a dos nivells, N = 2^k, si el número de factors és molt gran, es poden construir dissenys més menuts, de manera que queden dissenys factorials fraccionats en els que solament es porten a terme 1/4 dels experiments, N = 2^k-2 o restriccions majors, com a dissenys N = 2^k-3 (1/8) o inclús atres fraccionament. No obstant, per a conseguir estos fraccionament és necessari fusionar vàries columnes de factors en el disseny complet i, com ya s'ha indicat, cal tindre en conte que a mida que es reduïx el número d'experiments, la cantitat d'informació que pot ser obtinguda a partir d'ells, també es veu reduïda. Per tant, l'introducció d'estes llimitacions en el número d'experiments pot aplegar a ser prou restrictiva.

Dissenys de Plackett–Burman i Taguchi

El disseny experimental se seguix el criteri general de que el número d'experiments sempre deu ser superior al número de factors implicats. Açò vol dir que per a sèt factors i dos nivells ( N = 2¹⁰ = 1024), el màxim fraccionament que es pot fer és N = 2^10-6 = 16 experiments, ya que el següent fraccionament; N = 2^10-7 = 8, implica menys experiments que factors. A mida que aumenta el número de factors, la situació es fa més complexa, de manera que es requerixen 32 experiments per a l'estudi de 19 factors i 64 experiments per a l'estudi de 43 factors. Per a superar este problema i reduir, encara més, el número d'experiments, es necessiten atres enfocaments. En este sentit, Plackett i Burman varen publicar un artícul en 1946, sorgit de la necessitat de realisar proves de components en la fabricació d'equips durant la Segona Guerra Mundial i actualment considerat com un clàssic del disseny experimental. Estos autors varen propondre varis dissenys basats en dissenys factorials de dos nivells, a on el número d'experiments és múltiple de 4. Seguint unes determinades regles es poden conseguir dissenys en els que el número d'experiments supera en 1 al número de factors, k, lo que implica que les reduccions Plackett-Burman (dissenys PB) poden fer-se per a experiments en els que estan implicats 3, 7, 11, 15, 19, 23 etc., sempre un número de factors igual a cada múltiple de quatre menys un. Per a evitar esta llimitació de que els factors implicats en el disseny siga un múltiple de 4 menys 1, es poden afegir factors ficticis fins a complir este requisit. Dits factors ficticis no tenen cap efecte sobre el resultat de l'experiment. Aixina per eixemple, si els factors implicats anaren 10, s'utilisaria un disseny per a 11 factors; és dir un disseny de 12 experiments, lo que no contravé la regla de que són necessari més experiments que factors. En la següent taula es mostra, a títul d'eixemple, el disseny de Plackett-Burman per a sèt factors:

Experiment	Factors
	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
1	-	-	-	-	-	-	-
2	+	+	+	-	+	-	-
3	-	+	+	+	-	+	-
4	-	-	+	+	+	-	+
5	+	-	-	+	+	+	-
6	-	+	-	-	+	+	+
7	+	-	+	-	-	+	+
8	+	+	-	+	-	-	+

Un enfocament alternatiu prové del treball de Genichi Taguchi. Taguchi establix que la calitat d'un producte deu ser medida en térmens de reduir al mínim les pèrdues que eixe producte causa a la societat, des de que inicia la seua fabricació fins que conclou el seu cicle de vida. Estes pèrdues socials es traduïxen en pèrdues de l'empresa en el mig i llarc determini. El seu método de control de calitat va ser àmpliament utilisat per l'indústria japonesa, al mateix temps que criticat per experts estadístics d'occident i solament recentment s'ha reconegut que certs aspectes de la teoria són molt similars a les pràctiques occidentals. Els seus dissenys es presenten en forma de taula, similar a la de Plackett i Burman, pero codificant en "1" el nivell inferior i en "2" el nivell alt. Encara que aparentment els dissenys de Taguchi semblen diferents, en canviar la notació i intercanviar files i columnes, s'aprecia la semblança entre els proposts per Plackett i Burman, inclús els dissenys més simples són iguals als coneguts dissenys factorials fraccionales.

Dissenys experimentals per a l'ajust de superfícies de resposta

Els dissenys de dos nivells són útils per a fins exploratoris i, en ocasions, poden generar models prou útils. No obstant, en molts aspectes de la ciència i la tecnologia, com el calibrat d'instruments o l'estudi de mescles i proporcions, és desijable contar en varis nivells per factor.

En els processos de calibración instrumental, habitualment es busca ajustar la resposta de l'instrument de mida en l'ajuda d'una série de patrons de referència. A partir del calibrat s'obté important informació tècnica que permet saber si l'instrument medix correctament o, també, poder correlacionar la mida instrumental en les variables independents (factors), aspecte este, molt habitual en l'anàlisis químic instrumental, a on s'utilisen els calibrats para, posteriorment, generar prediccions. Per a descriure cuantitativamente la relació entre les respostes i els factors, s'utilisen models mecanicistas (fisicoquímicos) o empírics, habitualment models polinòmics, també coneguts com superfícies de resposta experimental. Estos models matemàtics deurien ser capaços de descriure superfícies de resposta llineal i curva, de forma similar.

Per a obtindre els models de calibración més efectius, la naturalea del conjunt de mides realisades en els patrons deu considerar-se cuidadosadament per mig d'un disseny experimental racional i ya que la relació entre factors i resposta experimental no tenen per qué ser necessàriament llineal, és molt recomanable l'ocupació de tres o més factors en el disseny del calibrat. Per tant, els dissenys factorials de tres o més nivells també es coneixen com a dissenys de superfície de resposta. Els dissenys factorials complets de tres o més nivells poden formalisar-se de la mateixa manera que els dissenys de dos nivells; és dir, variant els nivells i els factors fins a obtindre totes les combinacions possibles. Si el número de nivells o factors (o abdós) és elevat sorgix el mateix problema que en els dissenys de dos nivells: el número d'experiments també es torna molt elevat. Estes desventages varen dur al desenroll dels cridats dissenys òptims en els que s'inclouen nivells adicionals i experiments centrats.

Disseny compost

Diferencia entre disseny factorial de dos factors i tres nivells i el disseny compost central per a dos factors. Les coordenades dels punts definixen els experiments

Els dissenys composts consistixen en una combinació d'un disseny factorial complet o fraccionat al que s'afigen atres experiments adicionals. Si entre els experiments adicionals s'inclou una o més rèpliques d'un experiment format pel valor central que prenen tots els factors, el disseny es denomina disseny compost central o centrat. Este tipo de disseny és l'habitualment utilisat quan es volen ajustar les observacions experimentals a models de segon orde, ya que mostren rotabilidad  o equidistància entre experiments, lo que els conferix una excelent robustea des del punt de vista estadístic. Esta equidistància es conseguix per mig de l'inclusió d'un nivell adicional, denominat nivell estrela (*) que pren un valor alfa (α) que depén del número d'experiments de la part factorial del disseny (n_F).

$\alpha =(n_F{)}^{1/4}$

Com estos dissenys habitualment s'utilisen per a ajustar models matemàtics de superfícies de resposta experimental, és necessari que per a una millor estimació de l'error experimental, es porten a terme rèpliques de combinacions de factors, sobretot del punt central, el qual es replica de tres a cinc voltes assumint que l'error és el mateix en tota la superfície de resposta, ya que gran part del disseny experimental es basa en l'estadística clàssica, a on no existix informació detallada sobre les distribucions d'errors en un domini experimental. Si existiren raons de pes per a supondre que la heterocedasticidad dels errors eixercita un paper important, la replicació deuria realisar-se en atres punts (o en tots).

Disseny de Box-Behnken

Box-Behnken dissenye

Disseny de Box-Behnken per a tres factors (sense rèpliques del centre)

Un disseny de superfície de resposta alternatiu seria el disseny propost per G. E. P. Box i D. Behnken en 1960. Este disseny és un disseny no factorial que inclou un experiment centrat i varis experiments adicionals que complixen el requisit de que, alternativament, un dels factors presenta un nivell central i els atres es combinen com si es tractara un digues-li-ho factorial de dos nivells. En la taula es mostra com seria el disseny de Box-Behneken per a tres factors i la seua representació gràfica. Cada punt del disseny correspon a les coordenades del centre i de les diferents arestes de la gaveta, lo que supon, sense contar les rèpliques del centre, 13 experiments, molts menys dels 27 que correspondrien a un disseny factorial complete N = 3³. El disseny de Box-Behnken és, en realitat, un disseny esfèric en el que tots els punts es troben en la superfície d'una esfera de radi ${\displaystyle }\sqrt{2}$.

Estos dissenys permeten una estimació eficient dels coeficients de primer i segon orde en models matemàtics de superfícies de resposta experimental. Com els dissenys de Box-Behnken tenen menys punts de disseny, poden ser menys costosos de realisar que els dissenys centrals composts en el mateix número de factors.

Disseny cúbic centrat en les cares (sense rèpliques del centre)

Disseny compost central centrat en la cares

També conegut com a disseny de gaveta centrada en les cares, en realitat es tracta d'un disseny compost central, en el que el valor de α és igual a 1, independentment del número d'experiments factorials. Este disseny coloca els punts estrela o axials en el centre de les cares de la gaveta. Esta variació del disseny compost central s'utilisa a voltes quan només es requerixen tres nivells de cada factor. No obstant, cal tindre en conte que carix de la propietat de la rotabilidad. Per contra, el disseny de gaveta centrada en les cares no requerix tants punts centrals com els models esfèrics. En la pràctica, 2 o 3 són suficients per a proporcionar una bona varianza de predicció en tota la regió experimental.

Disseny d'optimisació de mescles

Un atre disseny que té particular interés i moltes aplicacions pràctiques és el denominat disseny d'optimisació de mescles o, simplement, dissenys de mesclas. Este tipo de dissenys s'utilisen en experiments en els que els factors són els composts o ingredients d'una mescla, alguna cosa molt habitual si s'investiguen mescles, com poden ser els eluyentes en cromatografía líquida o formulació de productes com a pintures o en l'indústria farmacèutica i textil i en atres situacions per l'estil. Lo habitual és que els components d'una mescla s'expressen en porcions de pes, volum o moles. En estos casos, els nivells dels factors no són independents, sino que obligatòriament, la suma de tots ells deu ser igual al 100% o, si estan normalisats, a 1. En atres paraules, si en una mescla de tres ingredients A, B i C hi ha 50% d'i 25% de B, forçosament la proporció de C deurà ser del 25%.

Per a este tipo de dissenys, el procediment a seguir és, bàsicament, el mateix que per als dissenys vists anteriorment; en primer lloc, es codifiquen els factors o components de la mescla i seguidament s'establixen els nivells de variabilitat de cada factor. Per a simplificar, la codificació dels factors es fa per mig de lletres i les dels nivells, en valors que van des del 0 a l'1, a on 0 representa el 0% en la mescla i 1 el 100%. Una volta que es dispon dels factors i els nivells, el següent pas és realisar totes les combinacions possibles, pero sempre en la restricció de que la suma dels nivells per a cada experiment, té que ser 1. Aixina, per eixemple, en el cas més senzill de dos components, A i B i cinc nivells, 0, 0.25, 0.50, 0.75 i 1, de les 25 possibles combinacions de factors i nivells, solament estan permeses 5:

Exp.	Factor
	A !B
1	1	0
2	0.75	0.25
3	0.5	0.5
4	0.25	0.75
5	0	1

Disseny de mescles per a tres components i cinc nivells

D'igual manera es procedix per als dissenys en els que el número de components de la mescla és major; una volta que s'han decidit els nivells dels factors, del possible disseny factorial complet, s'extrauen aquells experiments que complixen el requisit de que la suma de les proporcions és del 100%. En dissenys per a tres components, per a simplificar el càlcul, s'utilisen uns diagrames reticulados de forma triangular en els que cada costat representa un component i a cada u de dits costats es coloquen, de forma escalades, marques que representen cada nivell. Unint les diferents marques per mig de llínees paraleles als costats s'obté una retícula en la que cada nodo representa un experiment dels que es pot deduir la proporció en la que deu trobar-se cada component.

Aplicacions

El disseny d'experiments té una gran varietat d'aplicacions i pot ser aplicat a un gran número d'indústries, l'optimisació de recursos, l'identificació de causes de variabilitat són alguns dels objectius del disseny d'experiments aplicats en nivell industrial.

Aplicacions segons la classificació de l'indústria

A continuació es mostren alguns eixemples d'aplicacions existents segons el tipo d'indústria.

Indústries pesades o de base

• Química pesada

Estudi de la composició per a l'elaboració de productes: Estudi dels valors més apropiats per a l'elaboració de composts químics que requerixquen diversos components. Anàlisis de l'efecte de les condicions de l'entorn en l'elaboració del producte com la temperatura ambiente, humitat relativa etc.

Indústries de bens d'equip

• Maquinària

Mida de la variabilitat dels instruments de mida: És possible aplicar el disseny d'experiments com a ferramenta per a determinar i millorar els índexs de capacitat d'un procés concret recolzant-se en estudis de reproducibilidad i repetitividad.

Disseny de motors elèctrics: Estudi de les característiques constructives del motor i la seua influència en variables importants com la pèrdua de fluix i la constant de velocitat.

Disseny d'electrodos: Estudi dels esforços en els electrodos en funció de la força d'aplicació i el tamany de l'electrodo.

Disseny d'elements de subjecció: Anàlisis de l'influència dels paràmetros geomètrics en la resistència dels reblones.

• Materials de construcció

Estudis de corrosió: Estudis de l'influència del temps en la corrosió d'acers de construcció i metals en general.

Aplicacions en el mecanisat: estudi de la variabilitat en els processos de mecanisat, ajuda a la reducció de peces defectuoses i aument de la capacitat de producció.

• Producció de vehículs industrials

Estudi de processos de soldadura: estudi d'un procés de soldadura, per a determinar les variables que influïxen en la resistència de la soldadura.

• Indústria aeronàutica

Optimisació del procés de anodizado i pintat: optimisar els processos de anodizado i pintat per a conseguir una bona protecció anticorrosion.

Indústries llaugeres o d'us i consume

• Farmàcia i química llaugera
• Informàtica i telecomunicacions

Estudi del rendiment d'una ret informàtica: Realisant simulacions és possible quantificar el rendiment i les variables crítiques que fan que la transferència de senyes en la ret siga econòmicament rendable.

Millora del rendiment d'un processador: S'usa per a determinar l'impacte que tenen variables importants com la temperatura i les hores d'us en el rendiment del processador.

Reducció del temps de el CPU: L'estudi es basa en l'aplicació del disseny d'experiments per a determinar la millor combinació de factors que reduïxquen el temps de CPU.

Optimisació de materials en semiconductors: Estudi de les propietats elèctriques del arsienuro de gali dopat en silano.

Disseny de filtres passius: s'utilisa el disseny d'experiments per a determinar els valors de les tolerància dels components per a optimisar els circuits.

• Biotecnología

Operacions en un sistema de fangos actius: optimisar i entendre les reaccions que es donen en el tractament secundari d'una EDAR, per eixemple, els fangos actius.

Vore també

• Ciència
• Método científic
• Metodologia
• Disseny factorial
• Contrast d'hipòtesis
• Disseny d'experiments