Distribució binomial negativa

En teoria de provabilitat i estadística, la Distribució Binomial Negativa és una distribució de provabilitat discreta que inclou a la distribució de Pascal. És una ampliació de les distribucions geomètriques, utilisada en processos en els quals es veu necessària la repetició d'ensajos fins a conseguir un número de casos favorables (primer èxit).

La Distribució Binomial és una distribució de provabilitat discreta que medix el número d'èxits en una seqüència de $n$ ensajos de Bernoulli independents entre sí, en una provabilitat $p$ d'ocurrència d'èxits en els ensajos.

Un experiment de Bernoulli es caracterisa per ser dicotòmic, és dir, només són possibles dos resultats (A i no A).

Una variable aleatòria geomètrica correspon al número d'ensajos Bernoulli necessaris per a obtindre el primer èxit. Si desigem conéixer el número d'estos per a conseguir n èxits, la variable aleatòria és binomial negativa.

El número d'experiments de Bernoulli de paràmetro $p$ independents realisats fins a la consecució de el $r$-ésimo èxit és una variable aleatòria que té una distribució binomial negativa en paràmetros $r$ i $p$.

La distribució geomètrica és el cas concret de la binomial negativa quan $r=1$.

Condicions

Este procés consta de vàries condicions:

1. El procés té un número indefinit de proves i est conclourà quan es tinga un número determinat de resultats favorables $r$.
2. Les proves poden donar dos resultats possibles i excloents a la seua volta, és dir, A i no A.
3. La provabilitat d'obtindre un resultat A en les proves és $p$, i la de conseguir no A és $q$, de manera que $p+q=1$.
4. $p$ i $q$ són constants en cada prova i a la seua volta estes són independents.
5. Derivació de la distribució: si la variable aleatòria $X$ és "el número de proves necessàries per a conseguir $x$ èxits o resultats A " ; llavors $X$ seguirà una distribució binomial negativa en paràmetros $p$ i $r$.

Definició

Notació

Si $X$ és una variable aleatòria discreta en distribució binomial negativa en paràmetros $r$ i $p$ llavors escriurem $X\sim \mathrm{BN}(r,p)$.

Funció de massa

Si $X\sim \mathrm{BN}(r,p)$ llavors la seua funció de provabilitat és:

$f_X(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+x-1}{x})p^r(1-p{)}^x$

per a $x=0,1,2,\dots$ a on

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+x-1}{x})=\frac{(r+x-1)!}{x!(r-1)!}$

Vore també

• Distribució binomial
• Distribució geomètrica
• Distribució uniforme discreta
• Distribució hipergeométrica
• Distribució de Poisson