Divisor de zero

En àlgebra abstracta, un element no nul a d'un anell A és un divisor de zero per l'esquerra si existix un element no nul b tal que ab = 0. Els divisores de zero per la dreta es definixen análogamente. Un element que és tant un divisor de zero per l'esquerra com per la dreta rep el nom de divisor de zero. Si el producte és conmutativo, llavors no fa falta distinguir entre divisores de zero per l'esquerra i per la dreta. Un element no nul que no siga un divisor de zero ni per l'esquerra ni per la dreta rep el nom de regular.

Definició

Siguen a≠ 0 i b ≠ 0 dos elements distints d'un anell R tals que ab = 0. a i b es denominen divisores de zero, si a és divisor a esquerra i b és divisor a dreta.

Eixemples

L'anell Z dels sancers no té divisores de zero, pero en l'anell Z × Z, o Z² (a on la suma i el producte es realisen component a component), es té que (0,1) × (1,0) = (0,0), aixina que tant (0,1) com (1,0) són divisores de zero.

En l'anelle cocient Z/6Z, la classe del 4 és un divisor de zero, ya que 3×4 és congruent en 0 mòdul 6. De manera general, els divisores de zero existixen en l'anell Z/nZ si i solament si n és número compuesto i corresponen a aquells números que no són primers relatius en n.

Un eixemple de divisor de zero en l'anell de matrius de 2×2 és la següent matriu:

$\left(\begin{array}{cc}ac& -bc\\ ad& -bd\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}be& bf\\ ae& af\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}abce-abce& abcf-abcf\\ abde-abde& abdf-abdf\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

En a,b,c,d,i,f: número real.

En a,b: no tots nuls.

En c,d: no tots nuls.

En i,f: no tots nuls.

com per eixemple, en a=1, b=-2, c=1, d=3, i=2, f=-3 tenim:

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-4& 6\\ 2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

i l'atra matriu és divisor de zero que es poden obtindre.

a= 1, b= 1

c= 1, d= 1

i= 1, f= 1

$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

a= 1, b= 0

c= 1, d= 0

i= 1, f= 0

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

• Siguen f i g dos funcions reals, cap és la funció zero, de variable real definides per

$f(x)=0,x\le 0$ i $f(x)=x,x>0$

$g(x)=x,x\le 0$ i $g(x)=0,x>0$

El producte $f\cdot g=0$ per a tot x ,número real.