Enllaç fort

Archiu:GaAs Band Stracture in the tight binding model.PNG

Estructura de la banda de GaAs en el model d'unió apretada, mostrant els forats pesats, els forats llaugers i els forats separats.

En Física de l'Estat Sòlit, el tight binding model (o TB model) és un enfocament per a calcular l'estructura de bandes electròniques usant com a aproximació una base de funcions d'ona basat en una combinació llineal d'estes. El método és aplicat a una àmplia varietat de sòlits i dona bons resultats qualitatius en molts casos. Pot ser combinat en atres models i donar millors resultats a on el método falla.

Introducció

El nom de "tight binding" o "aproximació d'enllaç fort" sugerix que este model de Mecànica Quàntica, descriu les propietats dels electrons fortament enllaçats en un sòlit.

Formulació Matemàtica

El cristal com una colecció d'àtoms

Una bona aproximació per al potencial electrònic $V(𝒓)$ en un cristal és la suma de tot els potencials atòmics:

$V(𝒓)\equiv \sum _R{V}_{at}(𝒓\mathit{-}𝑹)$ .

a on la suma corre sobre tots els vectores de l'apany. No obstant el potencial és periòdic per construcció:

$V(𝒓\mathit{+}{𝑹}_{𝒐})=\sum _R{V}_{at}(𝒓\mathit{+}{𝑹}_{𝒐}\mathit{-}𝑹)$ .

$=\sum _R{V}_{at}(𝒓\mathit{-}\mathit{(}𝑹\mathit{-}{𝑹}_{𝒐}\mathit{)})$

$=\sum _{R^{\prime }}{V}_{at}(𝒓\mathit{-}{𝑹}^{\prime }\mathit{)})\equiv V(𝒓)$

Sumes de Bloch

Considere un element en un àtom per cela unitària, i suponga que cada àtom té solament un orbital de valència ${\varphi }_K(𝒓)$ Llavors formem una funció d'ona de Bloch del tipo:

${\phi }_K(𝒓)=N^{-1/2}\sum _m{e}^{iK\cdot R_m}\varphi (𝒓-{𝑹}_{𝒎}).$ .

• Demostrem que realment és una funció de Bloch:

${\phi }_K(𝒓\mathit{+}𝑹)=N^{-1/2}\sum _m{e}^{iK\cdot R_m}\varphi (𝒓\mathit{+}𝑹-{𝑹}_{𝒎}).$ .

$=N^{-1/2}{e}^{iK\cdot R}\sum _m{e}^{iK\cdot R_m-R}\varphi (𝒓-({𝑹}_{𝒎}\mathit{-}𝑹))$

$=e^{iK\cdot R}{\phi }_K(𝒓)$

• L'energia esperada del Hamiltoniano és :

${\epsilon }_k=\int d^{3}r{\varphi }_K^{*}(𝒓)H(𝒓){\varphi }_K(𝒓)=⟨k|H|k⟩=N^{-1}\sum _m\sum _n{e}^{iK\cdot (R_m-R_n)}⟨{\varphi }_m|H|{\varphi }_n⟩$

$⟨{\varphi }_m|H|{\varphi }_n⟩$ serà més gran si n i m estan en el mateix lloc atòmic, o són veïns més propencs, pero disminuirà ràpidament en la distància.