Espiral de Teodoro

Archiu:Spiral of Theodorus.svg

L'espiral de Teodoro formada fins al triàngul d'hipotenusa √17

En geometria, la espiral de Teodoro, també cridada caracola pitagórico, espiral pitagórico, espiral d'Einstein o espiral de raïls quadrades és una espiral composta de triànguls rectànguls contigus (un al costat d'un atre), atribuïda a Teodoro de Cirene

Construcció

L'espiral s'inicia en un triàngul rectàngul isósceles, en abdós catetos de llongitut 1 unitat (1o). Pel teorema de Pitágoras, este primer triàngul té hipotenusa de llongitut raïl quadrada de 2. Després, un atre triàngul rectàngul es forma, sent un dels seus catetos de llongitut 1 unitat, i l'atre cateto de llongitut l'hipotenusa del primer triàngul, en este cas la raïl quadrada de 2. Novament, per la teorema de Pitágoras, la llongitut de l'hipotenusa del segon triàngul és la raïl quadrada de 3. Este procés es repetix successivament, de manera que el i-ésimo triàngul en la seqüència és un triàngul rectàngul en els seus catetos de llongitut $\sqrt{i}$ i 1, i hipotenusa $\sqrt{i+1}$. En l'image que encapçala l'artícul, s'ha representat el procés fins a la raïl quadrada de 17, valor fins al que Teodoro va estendre els seus càlculs.

Història

A pesar d'haver-se perdut totes les obres de Teodoro, Platón en la seua diàlec Teeteto inclou referències a ell i als seus treballs, en els que se supon que va demostrar l'irracionalitat de les raïls des de la 3 fins a la 17 per mig d'esta espiral. Platón no atribuïx a Teodoro l'irracionalitat de la raïl quadrada de 2, en ser ya coneguda per matemàtics anteriors a Teodoro.