Exponent de Lyapunov

El Exponent Lyapunov o Exponent característic Lyapunov d'un sistema dinàmic és una cantitat que caracterisa el grau de separació de dos trayectòries infinitesimalment propenques. Cuantitativament, dos trayectòries en l'espai-fase en separació inicial $\delta {𝐙}_0$ divergix

$|\delta 𝐙(t)|\approx e^{\lambda t}|\delta {𝐙}_0|$

El radi de separació pot ser distint per a diferents orientacions del vector de separació inicial. Encara que, hi ha un complet espectre de l'exponent Lyapunov; el número d'ells és igual al número de dimensions de l'espai-fase. És comú referir-se només a la més gran, perque determina la predictibilidad d'un sistema.

Definició

Per a un sistema dinàmic que evoluciona segons l'equació $f^t$ en un espai de n–dimensions, l'espectre de l'exponent Lyapunov

$\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\},$

en general depén del punt d'inici $x_0$. L'exponent Lyapunov descriu el comportament dels vectores en l'espai tangente a l'espai-fase i són definits per la matriu Jacobiana:

$J^t(x_0)={\frac{d{f}^t(x)}{dx}|}_{x_0}$.

La matriu $J^t$ descriu cóm un chicotet canvi en el punt $x_0$ es propaga fins al punt final $f^t(x_0)$. El llímit

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(J^t\cdot (J^t{)}^T{)}^{1/2t}$

definix a una matriu $L(x_0)$ (les condicions per a l'existència del llímit són donades per la teorema de Oseldec). Si ${\Lambda }_i(x_0)$ són els valors propis de $L(x_0)$, llavors l'exponent Lyapunov ${\lambda }_i$ està definit per

${\lambda }_i(x_0)=\log {\Lambda }_i(x_0).$

Propietats bàsiques

Si el sistema és conservativo (no existix malbarat), la suma de tots els exponents Lyapunov deu ser zero. Si el sistema és disipativo, la suma serà negativa. Si el sistema és un fluix, un exponent serà sempre zero. En un sistema dinàmic hamiltoniano, la suma només pot ser positiva si el sistema és un sistema obert.

• L'espectre de Lyapunov pot ser usat per a estimar el radi de producció d'entropía d'un sistema dinàmic.
• L'invers del major exponent Lyapunov és cridat a voltes en lliteratura moment Lyapunov. Per a òrbites caòtiques, el moment Lyapunov serà finito, encara que per a òrbites regulars serà infinit.

Referències

Enllaces externs

• Random Attractors Found using Lyapunov Exponents