Fòrmula de Stirling

Fòrmula de Stirling

La diferència relativa entre (ln x!) i (x ln x - x) tendix a zero en créixer x.

En matemàtiques, la fòrmula de Stirling és una aproximació per a factorialés grans. Du el nom en honor al matemàtic escocés de el XVIII James Stirling.

L'aproximació s'expressa com

$\ln n!\approx n\ln n-n$

per a n suficientment gran, a on ln és el logaritmo natural.

Formulació rigorosa

La fòrmula de Stirling està donada per:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1$

que es reescriu freqüentment com:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

més exactament la fòrmula és com seguix:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\frac{1}{1260n^5}-\frac{1}{1680n^7}+\cdots }$

a on l'últim terme del producte(l'exponencial) tendix a 1 quan n tendix a infinit.

La llista dels numeradors és: 1, -1, 1, -1, 1, -691, 1, -3617, 43867, -174611, ...

La llista dels denominadors és: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, ...

Desenrollant este últim terme també es pot reescriure la fòrmula com:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+\cdots ).$

Una acotación de la fòrmula és:

$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n+1}}<n!<\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}}$

Per eixemple:

$29!=8841761993739701954543616000000$

$e^{\frac{1}{1229+1}}=1,\mathrm{002869438...}$

$e^{\frac{1}{1229}}=1,\mathrm{002877696...}$

$29!=\sqrt{2\pi 29}{\left(\frac{29}{e}\right)}^{29}1,\mathrm{002877577...}$

Usos

La fòrmula resulta útil en diverses àrees com la mecànica estadística, a on apareixen equacions que contenen factorials del número de partícules. ya que els sistemes macroscòpics típics tenen de l'orde del número de Avogadro ($N_A\approx 6\times 10^{23}$) de partícules, la fòrmula de Stirling resulta, en la pràctica, exacta. Ademés la fòrmula de Stirling és diferenciable, lo que permet el càlcul molt aproximat de màxims i mínims en expressions en factorials.

Vore també

• Factorial
• James Stirling (matemàtic)