Fòrmula integral de Schwarz

En anàlisis complex, la Fòrmula integral de Schwarz, nomenada en honor del matemàtic Hermann Amandus Schwarz, permet recuperar una funció holomorfa, fins a una constant imaginària, a partir dels valores llímits de la seua part real.

Disc Unitari

Siga $f$ una funció holomorfa en el disc unitari $\{z\in ℂ:|z|\le 1\}$ llavors

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=1}\frac{\zeta +z}{\zeta -z}\text{Re}(f(\zeta ))\frac{d\zeta }{\zeta }+i\text{Im}(f(0))$

per a tot $|z|<1$.

Semiplano superior

Siga $f$ una funció holomorfa en el semiplano superior tancat $\{z\in ℂ:\mathrm{Im}(z)\ge 0\}$ tal que per a algun $\alpha >0$, $|z^{\alpha }f(z)|$ està acotat pel semiplano superior tancat llavors

$f(z)=\frac{1}{\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(\zeta ,0)}{\zeta -z}d\zeta =\frac{1}{\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{Re(f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}d\zeta$

per a tot $\mathrm{Im}(z)>0$.

Considere que, comparant en la versió del disc unitari, esta fòrmula no té una constant arbitrària afegida a l'integral.

Notes i referències

• Ahlfors, Lars V. (1979), Complex Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, ISBN 0-07-085008-9
• Remmert, Reinhold (1990), Theory of Complex Functions, Second Edition, Springer, ISBN 0-387-97195-5
• Saff, E. B., and A. D. Snider (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering, Second Edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-327461-6