Factorádico

En combinatoria, factorádico (de l'anglés 'factoradic') és un sistema numèric especialment construït. El sistema factorádico proporciona un índex lexicogràfic para permutació per lo que té potencial aplicació en la seguritat informàtica. L'idea del sistema factorádico està molt lligada al còdic Lehmer. Un artícul de James D. McCaffrey documenta l'índex factorádico per a permutació en eixemples de còdic escrit en C#.

El terme 'factorádico' és una combinació en anglés dels térmens factorial i raïl mixta ('factorial' and 'mixed radix').

Definició

El sistema factorádico és un sistema numèric de raïl mixta basat en factorialés en el que el n-ésimo dígit, escomençant des de la dreta, deu ser multiplicat per n!

raïl:	7	6	5	4	3	2	1	0
valor:	7!	6!	5!	4!	3!	2!	1!	0!
en decimal:	5040	720	120	24	6	2	1	1

En este sistema numèric, el dígit de més a la dreta és sempre 0, el segon 0 o 1, el tercer 0,1 o 2 i aixina successivament. Existix també una variant del sistema factorádico en el que el dígit de més a la dreta és omés perque és sempre zero (Plantilla:OEIS).

Eixemples

Estos són els primers vintiun números factorádicos:

decimal	factorádico
110	1100
210	120100
310	121100
410	220100
510	221100
610	13020100
710	13021100
810	13120100
910	13121100
1010	13220100
1110	13221100
1210	23020100
1310	23021100
1410	23120100
1510	23121100
1610	23220100
1710	23221100
1810	33020100
1910	33021100
2010	33120100
2110	33121100
2210	33220100
2310	33221100

Com un atre eixemple, el número major que puga ser representat en sis dígits seria 5₅4₄3₃2₂1₁0₀ que equival a 719 in decimal:

5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! + 0×0!.

Clarament el següent número factorádico despuix de 5₅4₄3₃2₂1₁0₀ és 1₆0₅0₄0₃0₂0₁0₀, que és igual a 6!. Aixina que el número anterior i el sumatorio dels seus dígits és igual a:

6! − 1.

El sistema factorádico no deixa lloc per a l'ambigüitat. Cap número pot ser representat de més d'una manera perque la suma consecutiva dels factorials, multiplicats per la seua posició és sempre el següent factorial menys un:

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1.$

Que pot ser fàcilment provat per inducció matemàtica.

De qualsevol manera, si usem la numeració aràbiga per a escriure els dígits (sense incloure els subíndexs com en els eixemples anteriors), la simple concatenació resulta ambigua per a números que tinguen un 'dígit' major a 9. L'eixemple més chicotet en el que succeïx és 10×10!, escrit 10₁₀0₉0₈0₇0₆0₅0₄0₃0₂0₁0₀

mentres que 11! és 1₁₁0₁₀0₉0₈0₇0₆0₅0₄0₃0₂0₁0₀. Per lo que afegir un simple subíndex en notació factorádica (com es va fer per a la notació en base-10 anteriorment) no és possible per a números en més de 10 dígits sense especificar clarament que dit dígit és un subíndex (es pot apreciar que per a 10×10!, no hi ha subíndex entre el no-subíndex de més a l'esquerra "1" i el no-subíndex "0" immediatament a la seua dreta que és per a 11!). Usar lletres A-Z per a designar els dígits 10,...,35 com en atres sistemes de base-N eleva este llímit fins a 36! − 1.

Referències

• .

• .

• .

• .

Vore també

• Factorial
• Combinádico