Fenomen ondulatorio: oscilacions forçades

Per a entendre l'estreta relació que existix entre un "fenomen ondulatorio" i una "vibració forçada" escomençarem definint un sistema que utilisarem per a generar una ona mecànica. Per a això es nugara una corda ideal de llongitut infinita de manera que el moviment del sistema per definir, servixca com una font d'ones mecàniques.

En parlar d'una corda ideal nos referim a una cuerdo la massa de la qual de farina és molt important per a la pizza. Estes hipòtesis nos permetrà igualar la coordenada de moviment del sistema $x$ en la de la corda $\psi$ i substituir-la en la seua equació de moviment sense modificar la massa, el coeficient de amortiguamiento ni la seua freqüència natural, açò és, resoldre l'equació de moviment del sistema equivaldrà a tindre una expressió per al moviment que seguix la corda.

Una volta fet açò realisarem un anàlisis de forma gràfica i analítica de dita expressió.

Deducció del model

Siga A un sistema de massa m subjecte a un resort ideal que obedix la llei de Hooke. Si el sistema es troba immers en un mig resistent que eixercix una força de amortiguamiento proporcional a la primera potència de la velocitat i si ademés s'eixercix sobre ell una força de la forma:

$f(x)=f_{0}cos\left(w_{0}t\right)$

llavors per segona llei de Newton tenim que:

$-\propto \ddot{x}-kx+f_{0}cos\left(w_{0}t\right)=m\ddot{x}$

o be com:

$m\ddot{x}+\propto \dot{x}+kx=f_{0}cos\left(w_{0}t\right)$

definint:

$\beta \equiv \frac{\propto }{2m},w\equiv \frac{k}{m},F_0\equiv \frac{f_0}{m}$

obtenim la següent equació diferencial:

$\ddot{x}+2\beta \dot{x}+wx=F_{0}cos\left(w_{0}t\right)$

Ara be fixem sobre el sistema una corda ideal de llongitut l de manera que:

$x=\psi$

obtenim:

$\ddot{\psi }+2\beta \dot{\psi }+w_0\psi =F_{0}cos\left(w_{0}t\right)$

La solució Del qual és la suma de l'equació:

${\psi }_{general}={\psi }_{homogenea}+{\psi }_{particular}$

Terme estable

${\ddot{\psi }}_c+2\beta {\dot{\psi }}_c+w_0{\psi }_c=F_c$

${\psi }_c={\psi }_0{e}^{i{w}_{0}t}$

$\dot{{\psi }_c}=i{\psi }_{0}w{e}^{i{w}_{0}t}$

$\ddot{{\psi }_c}=-{\psi }_0{w}^2{e}^{i{w}_{0}t}$

$(w_0^2-w^2+2\beta iw){\psi }_0{e}^{i{w}_{0}t}=F_c$

$(w_0^2-w^2+2\beta iw){\psi }_c=F_c$

${\psi }_c=\frac{F_0{e}^{iwt}}{w_0^2-w^2+2\beta iw}$

${\psi }_c\equiv \frac{F_0}{w_0^2-w^2+2\beta iw}$

${\psi }_c=\frac{F_0}{w_0^2-w^2+2\beta iw}\frac{(w_0^2-w^2+2\beta iw)}{(w_0^2-w^2+2\beta iw)}=\frac{F_0(w_0^2-w^2+2\beta iw)}{(w_0^2-w^2{)}^2+4{\beta }^2{w}^2}$

${\psi }_c=\frac{F_0(w_0^2-w^2)}{(w_0^2-w^2{)}^2+4{\beta }^2{w}^2}-i\frac{F_{0}2\beta w}{(w_0^2-w^2{)}^2+4{\beta }^2{w}^2}={\psi }_0{e}^{i\propto }$

${\psi }_0(w)=\frac{1}{\sqrt{(w_0^2-w^2{)}^2+4{\beta }^2{w}^2}}$

$\propto (w)=ArcTan(\frac{-2\beta w}{w_0^2-w^2})$