Funció analítica

En matemàtiques una funció analítica és aquella que pot expressar-se com una série de potències convergent. Una funció analítica és suau si té infinites derivades. La noció de funció analítica pot definir-se per a funcions reals o complexes, encara que abdós conjunts tenen propietats distintes. Les funcions complexes derivables en un conjunt obert sempre són localment analítiques, i es denominen funcions holomorfas. Açò es demostra en l'artícul Analiticidad de les funcions holomorfas. No obstant, una funció real infinitament derivable no és necessàriament analítica. cal deixar constància que les classes més importants de funcions que ocorren en l'anàlisis clàssic i en les seues aplicacions als problemes de mecànica i física són analítiques, llevat en alguns punts singulars d'estes funcions.

Definició

La definició de funció analítica és idèntica per als casos real i complex:

D'esta definició es pot demostrar la següent caracterisació alternativa:

Una funció es diu analítica en un conjunt O si és analítica en cada punt de O. El conjunt de totes les funcions analítiques en un cert obert O es denota per C^ω(O).

Vàries variables

La definició de funció analítica pot estendre's per a funcions (reals o complexes) de vàries variables (definides en Rⁿ o Cⁿ), sense més que considerar séries de potències de vàries variables:

$\sum _{i_1\dots i_n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{i_1\dots i_n}\prod _{k=1}^n(x_k-c_k{)}^{i_k}=a_{0\dots 0}+a_{1\dots 0}(x_1-c_1)+\dots +a_{0\dots 1}(x_n-c_n)+a_{2\dots 0}(x_1-c_1{)}^2+a_{11\dots 0}(x_1-c_1)(x_2-c_2)+\dots$

Funcions holomorfas

Artícul principal → Funció holomorfa.

En el cas de les funcions complexes analítiques, existix una teorema que les caracterisa de manera molt més senzilla, i que constituïx un de les traces fonamentals del anàlisis complex:

Una funció complexa f : D &puja; C → C derivable en un interval obert O, és analítica en O.

Una teorema similar s'aplica en el cas de funcions complexes de vàries variables que siguen diferenciables:

Una funció complexa f : D &puja; Cn → C diferenciable en un interval obert O és analítica en O.

Funcions suaus no analítiques

En variable real poden trobar-se funcions suaus que no són analítiques. Un eixemple d'això és la funció:

Esta funció és infinitament derivable per a qualsevol x ∈ R, i en particular totes les seues derivades en 0 són nules: f⁽ⁿ⁾(0) = 0. Per tant, la seua série de Taylor al voltant de 0 és idénticamente nula, i en cap entorn de dit punt coincidixen la funció i la série de Taylor.

Referències

• Krantz, Steven; Parks, {{{nom2}}} (1992). A primer of real analytic functions (en anglés), Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2768-5. Capítul 1.
• Scheidemann, Volker (2005). Introduction to complex analysis in several variables (en anglés), Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7490-X. Capítul 1.
• Complex Analysis Ahlfors, Lars V. Mc Graw-Hill Company, Inc. Tòquio 1953

Teoria de les funcions analítiques Tom I, Markushevich, A. traducció d'Emiliano Aparicio Bernardo (sic) A. Editorial Mir, Moscou, 1970