Funció diferenciable

La diferenciabilidad és un concepte fonamental en el càlcul infinitesimal i la matemàtica en general.Es referix a la propietat d'una funció de poder ser derivada en un punt específic.

El concepte de funció diferenciable és una generalisació per al càlcul en vàries variables del concepte més simple de funció derivable. En essència una funció diferenciable admet derivades en qualsevol direcció i pot aproximar-se a lo manco fins a primer orde per una aplicació afí.

La formulació rigorosa d'esta idea intuïtiva no obstant és alguna cosa més complicada i requerix de coneiximents d'àlgebra llineal. Deu notar-se que encara que una funció de vàries variables admeta derivades parcials segons cada una de les seues variables no necessàriament això implica que siga una funció diferenciable.

Definició

Una funció de múltiples variables $f:\Omega \subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$ es dirà diferenciable en $x_0\in {ℝ}^n$ si, sent $\Omega$ un conjunt obert en ${ℝ}^n$, existix una transformació llineal $T$ que complixca:

A on $\theta (h)$ complix que:

És dir, $\theta (h)$ és d'orde més chicotet que $h$ quan $h$ tendix a 0. Necessàriament la transformació llineal $T$és l'única cosa que es veu més clarament si adoptem com a definició de funció derivable aquella per a la qual es complix que existixca una aplicació llineal tal que:

Visualisació geomètrica

De manera informal, si pensem en la gràfica d'una funció de dos variables f(x,i) com una "llançol", direm que f és diferenciable si la "llançol" no té punts a on està "quebrada". No obstant esta ilustració servix per a una funció diferenciable en el seu domini. La funció pot ser diferenciable en un punt (a,b) i no assemblar-se en res a un llançol en eixe punt.

Referències

• Bombal, R. Marín & Vora: Problemes d'Anàlisis matemàtic: Càlcul Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

Vore també

• funció derivable (cas d'una funció d'una variable.)