Funció elíptica de Jacobi

Funcions elíptiques de Jacobi sn_k(x), per a diferents valors del paràmetro (llínea roja: k = 0,05; llínea verda: k = 1,05).

Funcions elíptiques de Jacobi cn_k(x), per a diferents valors del paràmetro (llínea roja: k = 0,05; llínea verda: k = 1,05).

Funcions elíptiques de Jacobi dn_k(x), per a diferents valors del paràmetro (llínea roja: k = 0,25; llínea verda: k = 1,05).

Les funcions elíptiques de Jacobi són funcions definides a partir de l'integral elíptica de primera espècie i apareixen en diversos contexts, deuen el seu nom al matemàtic alemà Carl Gustav Jakob Jacobi (1829).

En física apareixen per eixemple les oscilacions d'un péndola en grans amplitut somés a la gravetat, o el moviment d'una peonza asimètrica.

Definició

Considere's l'integral elíptica incompleta de primera espècie definida com:

$u=F_k(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dv}{\sqrt{(1-v^2)(1-k^2{v}^2)}}$

L'inversa d'esta funció és la primera de les tres funcions elíptiques de Jacobi:

${\text{sn}}_{k}u=x=F_k^{-1}(u)$

Les atres dos funcions elíptiques de Jacobi es definixen a partir d'esta per les relacions següents:

Propietats

En primer lloc les funcions elíptiques satisfan un conjunt d'identitats anàlec al que satisfan les funcions trigonométricas:

Sobre els valors particulars es té que para o = 0 les funcions valen:

Les funcions elíptiques poden considerar-se una generalisació de les funcions trigonométricas; de fet quan k tendix a zero les funcions elíptiques de Jacobi es reduïxen a les funcions trigonométricas convencionals:

Les respectives series de Taylor vénen donades per:

Doble periodicitat

Una propietat interessant de les funcions elíptiques de Jacobi és que són doblement periòdiques. Tenen un periodo real i un atre periodo complex:

A on els valors que definixen els periodos ve daus per:

a on q és el nomo de les funcions ${\theta }_i(x,q)$ que es relaciona en el mòdul de les funcions elíptiques per mig de la relació:

Relacions entre les funcions elíptiques

Algunes relacions útils per a el "àngul doble" són:

Algunes relacions que involucren a les funcions elíptiques secundàries són:

Referències

Bibliografia

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fòrmules i taules de matemàtica aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988, pp. 185-89 ISBN 84-7615-197-7.

Enllaços externs

• Funció elíptica de Jacobi en MathWorld.
• http://www.math.ohio-state.edu/econrad/Jacobi/Jacobi.html (en anglés)
• Definition in Abramowitz & Stegun (en anglés)