Identitat de Proizvolov

En matemàtica, la identitat de Proizvolov és una identitat relativa a la suma de diferències de número entero positius. L'identitat va ser proposta per Vyacheslav Proizvolov com un problema en les Olimpiades Soviètiques d'Estudiants de 1985 Plantilla:Harv.

Per a formular l'identitat, es prenen els primers 2N sancers positius,

1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,

i es realisa una partició d'ells en dos subconjunts de N números cada u. Es reagrupa un subconjunt de manera que els elements queden ordenats de menor a major (orde creixent):

A_{1} < A_{2} < \dots < A_{N} .

Es reagrupa l'atre subconjunt de manera que els elements queden ordenats de major a menor (orde decreixent):

B_{1} > B_{2} > \dots > B_{N} .

Llavors la suma

| A_{1} - B_{1} | + | A_{2} - B_{2} | + \dots + | A_{N} - B_{N} |

és sempre igual a N².

Eixemple

Prenga's per eixemple N = 3. El conjunt de números és llavors {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionen tres números d'este conjunt, per eixemple el 2, 3 i 5. Llavors les seqüències A i B són:

A₁ = 2, A₂ = 3, i A₃ = 5;

B₁ = 6, B₂ = 4, i B₃ = 1.

La suma és

| A_{1} - B_{1} | + | A_{2} - B_{2} | + | A_{3} - B_{3} | = | 2 - 6 | + | 3 - 4 | + | 5 - 1 | = 4 + 1 + 4 = 9,

la qual indica que és igual a 3².

Referències

Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas»..

Este artícul conté una traducció derivada de «Identidad de Proizvolov» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.