Image inversa

Archiu:Kern Mathematik.svg

Image inversa

La image inversa, antiimagen o contraimagen d'una aplicació és l'aplicació que a cada subconjunt del conjunt final de l'aplicació li fa correspondre el conjunt d'elements del conjunt inicial que la seua image es troba en este conjunt. És una aplicació que a un conjunt li fa correspondre un atre conjunt.

Definició

Siga $f:\text{A}⟶\text{B}$ una aplicació i $\text{Y}\subset \text{B}$. L'image inversa de $Y$ es definix com seguix:

$f^{-1}(Y)=\{x\in A|\mathrm{\exists }y\in Y,f(x)=y\}$

Propietats

L'image inversa resulta ser compatible en totes les operacions en conjunts:

Unió

$\mathrm{\forall }Y,Z\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{Y}\cup \text{Z})=f^{-1}(\text{Y})\cup f^{-1}(\text{Z})$

Intersecció

$\mathrm{\forall }Y,Z\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{Y}\cap \text{Z})=f^{-1}(\text{Y})\cap f^{-1}(\text{Z})$

Complementari

$\mathrm{\forall }Y\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{B}-\text{Y})=\text{A}-f^{-1}(\text{Y})$

Diferència de conjunts

$\mathrm{\forall }\text{Y},\text{Z}\subset \text{B}{f}^{-1}(\text{Y}-\text{Z})=f^{-1}(\text{Y})-f^{-1}(\text{Z})$