Integral de Wallis

Es diuen integrals de Wallis a un conjunt d'integrals introduïdes per Wallis, que conformen una successió d'integrals. El terme n-ésimo de la successió d'integrals de Wallis ve dau per:

L'igualtat anterior s'obté canviant de variable en l'integral, $y=\frac{\pi }{2}-x$ i després renombrando $y$ en $x$.

Propietats elementals

Els térmens $w_n$ són positius no nuls perque les funcions $f_n(x)=x\mapsto {\sin }^{n}x$ lo són sobre l'interval $]0;\frac{\pi }{2}]$ . La successió és estrictament decreixent perque sobre $]0;\frac{\pi }{2}[$, sen x pertany a ]0; 1[ i per a tot número real r en ]0; 1[ la successió $n\mapsto r^n$ decreix estrictament. Un atre modo de vore és calcular la diferència:

perque sobre $]0;\frac{\pi }{2}[,{\sin }^{n}x>0,\text{ y }\sin x-1<0$ després l'integral d'una funció contínua negativa no nula és negativa. La funció $f_n$ tendix cap a 0 per a tot x en $[0;\frac{\pi }{2}[$ quan n tendix cap a l'infinit, després, treballant sobre l'interval compacte $[0;\frac{\pi }{2}]$:

Formes explícites de les integrals de Wallis

Els dos primers térmens de la successió es calculen directament:

Els següents térmens es calculen gràcies a una relació d'inducció que es va a obtindre per integració per parts:

L'integral $u_n$ s'obté per integració per parts. Primer s'integra ${\sin }^{n}x\cdot \cos x$ en:

i es deriva $\cos x$ en $-\sin x$:

Per tant tenim: $w_{n+2}=w_n-\frac{w_{n+2}}{n+1}$ lo que equival a $(n+1)w_{n+2}=(n+1)w_n-w_{n+2}$ és dir $(n+2)w_{n+2}=(n+1)w_n$ després $w_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}{w}_n$ lo que s'escriu també $w_n=\frac{n-1}{n}{w}_{n-2}$ Esta relació permet expressar els térmens de ranc impar en funció de $u_1$ i els de ranc parell en funció de $u_0$. En concret:

Per a n impar: $n=2k+1$ i $w_n=\frac{(n-1)(n-3)\mathrm{...4}\times 2}{n(n-2)\mathrm{...3}\times 1}{w}_1$ $=\frac{(n-1){\mathrm{\backslash color}}^2(n-3){\mathrm{\backslash color}}^2\mathrm{...4}{\mathrm{\backslash color}}^2\times 2{\mathrm{\backslash color}}^2}{n(n-1)(n-2)(n-3)\mathrm{...3}\times 2\times 1}$ $=\frac{((2k)(2k-2)\mathrm{...4}\times 2{)}^2}{n!}$ $=\frac{((2k)(2(k-1))\mathrm{...}(2\times 2)(2\times 1){)}^2}{n!}$ $=\frac{(2^k\times k!{)}^2}{n!}$ $=\frac{2^{2k}{(k!)}^2}{n!}$ $=\frac{2^{n-1}{\left(\frac{n-1}{2}\right)!}^2}{n!}$ perque $k=\frac{n-1}{2}$; a on n! i k! són les factorialés de n i k.

Per a n parell es procedix de la mateixa manera, llevat que els factors pares apareixen en el denominador; es multiplica el numerador i el denominador pel denominador per a fer aparéixer la factorial n! dalt i les potències de 2 avall: sense detallar tant com anteriorment, tenim:

$w_n=\frac{(n-1)(n-3)\mathrm{...3}\times 1}{n(n-2)\mathrm{...4}\times 2}{w}_0$ $=\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...3}\times 2}{(n(n-2)\mathrm{...4}\times 2{)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}$ $=\frac{n!}{{(2^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{2}\right)!)}^2}\cdot \frac{\pi }{2}$ $=\frac{n!\pi }{2^{n+1}{\left(\frac{n}{2}\right)!}^2}$

Referències

Enllaços externs

• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.