Linealidad

Archiu:Variables proporcionals.png

Funció llineal el domini de la qual i contradominio són els número real

En matemàtiques, la linealidad es referix a una propietat abstracta definida tant entre funcions com en espais de cert tipo, per la qual un objecte associat a la suma d'objectes pot ser expressat en térmens de la suma d'objectes associats.

Funcions sobre un anell

Una funció llineal definida sobre anell $f(x)$ és aquella que satisfà les següents dos propietats (vore més avall Àlgebra llineal per a un us llaugerament Diferent Al Terme

• Propietat aditiva: Si existixen $f(x)$ i $f(y)$, llavors $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Es diu que $f$ és un grup isomorfo sobre l'adició.
• Propietat homogénea: $f(ax)=af(x)$, per a tot número real a. Açò fa que l'homogeneïtat seguixca a la propietat aditiva en tots els casos a on a és racional. En el cas de que la funció llineal siga contínua, l'homogeneïtat no és un axioma adicional per a establir si la propietat aditiva està establida. En esta definició x no és necessàriament un número real, pero és en general membre d'algun espai vectorial.

Si abdós propietats es complixen, es denomina: principi de superposició:

En general, es diu en Matemàtiques que una funció és llineal quan complix que l'image de la suma és igual a la suma de les imàgens (açò és, $f(x+y)=f(x)+f(y)$) i quan l'image del múltiple d'un objecte és igual al múltiple de l'image (açò és $f(\lambda x)=\lambda f(x)$).

Espais vectorials

La propietat de linealidad està associada al concepte d'espai vectorial, conjunts en els que es definixen dos operacions, una interna (sumixca de vectores $x+y$) i una atra externa (multiplicació per un escalar λx, en la que λ pertany a un conjunt extern), d'ahí que la propietat de linealidad s'expresse referida a estes dos operacions. Per a comprovar la linealidad d'una funció $f(x)$ no és necessari realisar la comprovació de les propietats d'homogeneïtat i aditividad per separat, en mostrar que $f(ax+by)=af(x)+bf(y)$ la linealidad queda demostrada.

Operador llineal

El concepte de linealidad pot ser estés al operador llineal. Eixemples importants d'operacions llineals inclouen a la derivada considerada un operador diferencial i molts construïts d'ell, tal com el Laplaciano. Quan una equació diferencial pot ser expressada en forma llineal, és particularment fàcil de resoldre en trencar l'equació en chicotetes peces, resolent cada una d'estes peces i juntant les solucions.

Les equacions no llineals i les funcions no llineals són d'interés en la física i matemàtiques degut a que són difícils de resoldre i donen lloc a interessants fenomens com la teoria del caos.

Àlgebra llineal

l'Àlgebra Llineal és la branca de les matemàtiques que s'encarrega de l'estudi dels vectores, espais vectorials (o espais llineals), transformacions llineals i sistemes d'equacions llineals.

En un us llaugerament diferent del mencionat dalt, un polinomi de grau un es diu que és llineal, perque la gràfica de la funció és una llínea recta. Sobre els reals una funció llineal és de la forma

$f(x)=mx+b$

$m$ és usualment cridada la pendent o el gradient; $b$ és l'intersecció entre la gràfica i l'eix independent.

Note's que este us del terme "llineal" no és el mateix que l'usat dalt, perque els polinomis llineals sobre els número real generalment no satisfan la aditividad o l'homogeneïtat. De fet els polinomis els complixen solament quan b = 0, la funció llavors és cridada funció afí (vore més general, transformació afí).