Llongitut de dispersió

La llongitut de dispersió en mecànica quàntica descriu la dispersió a baixa energia. Està definida com el llímit següent:

$\underset{k\to 0}{\lim }k\cot \delta (k)=-\frac{1}{a},$

a on a és la llongitut de dispersió, k és el número, i δ(k) és el canvi de fase de l'ona s. La secció eficaç elàstica σ_{_i}, a baixes energies està determinada únicament per la llongitut de dispersió

$\underset{k\to 0}{\lim }{\sigma }_e=4\pi a^2.$

Concepte general

Quan una partícula llenta és dispersada per un dispersor de curt ranc (per eixemple, una impurea en un sòlit o una partícula pesada) no pot donar detall de l'estructura de l'objecte, ya que el seu llongitut d'ona de De Broglie és molt llarga. L'idea és que llavors no és molt important quina potencial precís és el que genera la dispersió, sino quin és l'aspecte del potencial a grans escales de llongitut. La manera formal de resoldre este problema és fer una expansió en ones parcials (de certa manera, anàloga a l'expansió multipolar en electrodinàmica clàssica), a on s'expandix en components de moment angular de l'ona eixint. A molt baixa energia, la partícula incident no pot «vore» cap estructura, i per lo tant, l'orde més baix, un té solament una ona esfèrica dispersada, lo que es coneix com a dispersió d'ona s (moment angular l = 0). A energies més altes és necessari considerar també la dispersió de les ones p i d (l = 1 i 2) i aixina successivament. L'idea de descriure les propietats de baixa energia en térmens d'uns pocs paràmetros i simetria és molt poderosa i està també darrere del concepte de renormalización.

Eixemple

Com a eixemple del càlcul de la llongitut de dispersió de l'ona s (és dir, moment angular l = 0) per a un potencial dau podem observar el pou de potencial esfèric repulsivo infinit de ràdio r₀ en 3 dimensions. l'equació de Schrödinger radial (l = 0) fora del pou és la mateixa que la d'una partícula lliure:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{u}^{″}(r)=Eu(r),$

a on el potencial de núcleu dur requerix que la funció d'ona o(r) es torne zero en r = r₀: o(r₀) = 0. La solució es troba immediatament:

$u(r)=A\sin (kr+{\delta }_s)$.

Ací,

$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash };$

δ_s = −k·r₀ és el canvi de fase de l'ona s (la diferència de fase entre l'ona incident i la dispersada), el qual queda determinat per la condició de frontera o(r₀) = 0. A és una constant de normalisació arbitrària.

Es pot demostrar que, en general, δ_s(k) ≈ −k·a_s + O(k²) per a k chicoteta (és dir, per a dispersió de baixa energia). El paràmetro a_s en dimensions de llongitut està definit com la llongitut de dispersió. Per al nostre potencial tenim llavors, a = r₀. En atres paraules, la llongitut de dispersió per a una esfera dura és justament el radi. Alternativament, es podria dir que un potencial arbitrari en llongitut de dispersió a_s té les mateixes propietats de dispersió a baixa energia que una esfera dura de radi a_s.

Per a relacionar la llongitut de dispersió en cantitats físiques observables que puguen medir-se en un experiment de dispersió, és necessari calcular la secció eficaç, σ. En teoria de la dispersió, s'escriu la funció d'ona asintòtica (suponent que hi ha un dispersor de ranc finito en l'orige i que hi ha una ona plana incident a lo llarc de l'eix z) com

$\psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r}$

a on f és l'amplitut de dispersió. D'acort a l'interpretació provabilística de la mecànica quàntica, la secció eficaç diferencial està donada per

$\frac{d\sigma }{d\Omega }=|f(\theta ){|}^2,$

és dir, la provabilitat per unitat de temps de dispersar en la direcció de k. Si solament considerem la dispersió de l'ona s, la secció eficaç diferencial no depén de l'àngul θ. La secció eficaç de dispersió total és únicament σ = 4π|f|². La part de la funció d'ona ψ(r,θ) corresponent a l'ona s és obtinguda usant l'expansió usual d'una ona plana en térmens d'ones esfèriques i dels polinomis de Legendre P_l(cos θ):

$e^{ikz}\approx \frac{1}{2ikr}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}(2l+1)P_l(\cos \theta )[(-1{)}^{l+1}{e}^{-ikr}+e^{ikr}].$

En relacionar la component en l = 0 de ψ(r,θ) en la solució de l'ona s,

$\psi (r)=\frac{A\sin (kr+{\delta }_s)}{r},$

a on normalisem A, de tal manera que l'ona incident i^ikz tinga com a factor davant l'unitat, es té:

$f=\frac{1}{2ik}(e^{2i{\delta }_s}-1)\approx {\delta }_s/k\approx -a_s$

Açò dona com a resultat,

$\sigma =\frac{4\pi }{k^2}{\sin }^2{\delta }_s=4\pi a_s^2$

Referències

• Landau; Lifshitz, E. M. (2003). Quàntum Mechanics: Senar-relativistic Theory, Amsterdam: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3539-8.