Método de Prony

El método de Prony va ser desenrollat per Gaspard Riche de Prony en 1795, no obstant, els usos pràctics del método solament es varen presentar en l'introducció de les computadores digitals. El método de Prony extrau informació d'una senyal uniformemente muestreada i, construïx una série d'exponencials complexes o sinusoidals. Açò permet l'estimació de les components d'una senyal: freqüència, amplitut, fase i, amortiguamiento.

El método

Siga $f(t)$ una senyal que consistix de $N$ mostres igualment espayades. El método de Prony ajusta una funció $\hat{f}(t)$ a la funció $f(t)$ observada

Utilisant l'identitat de Euler, $\hat{f}(t)$ pot ser expressada d'una forma que permet un càlcul més directe dels térmens

A on: ${\lambda }_i=({\sigma }_i\pm j{\omega }_i)$ són els eigenvalores (auto-valores o valors propis) del sistema. ${\sigma }_i$ són les components d'atenuació. ${\varphi }_i$ són les components de fase. $f_i$ són les components de freqüència. $A_i$ són les components d'amplitut de la série. $j=\sqrt{-1}$

Representations

El método de Prony és una descomposició d'una senyal per mig de $M$ exponencials complexes a través del següent procés:

Muestrear regularment $\hat{f}(t)$ de tal manera que $n^{th}$ de $N$ mostres puga ser escrit com:

$F_n=\hat{f}({\Delta }_{t}n)=\sum _{m=1}^M{\mathrm{B}}_m{e}^{{\lambda }_{m}t}$

Si $\hat{f}(t)$ consistix de sinusoidals amortiguadas, llavors existirà un parell d'exponencials complexes tals que:

${\mathrm{B}}_a=\frac{1}{2}{A}_i{e}^{{\varphi }_{i}j}$

${\mathrm{B}}_b=\frac{1}{2}{A}_i{e}^{-{\varphi }_{i}j}$

${\lambda }_a={\sigma }_i+j{\omega }_i$

${\lambda }_b={\sigma }_i-j{\omega }_i$

a on

${\mathrm{B}}_a{e}^{{\lambda }_{a}t}+{\mathrm{B}}_b{e}^{{\lambda }_{b}t}=\frac{1}{2}{A}_i{e}^{{\varphi }_{i}j}{e}^{({\sigma }_i+j{\omega }_i)t}+\frac{1}{2}{A}_i{e}^{-{\varphi }_{i}j}{e}^{({\sigma }_i-j{\omega }_i)t}$ $=A_i{e}^{{\sigma }_{i}t}cos({\omega }_{i}t+{\varphi }_i)$

Degut a que la suma d'exponencials és la solució a un sistema d'Equacions en diferències, la següent solució existirà:

$\hat{f}({\Delta }_{t}n)=-\sum _{m=1}^M\hat{f}({\Delta }_t(n-m))P_m$

La clau del método de Prony és que els coeficients en l'equació en diferències estan relacionats en el següent polinomi

$\sum _{m=1}^{M+1}{P}_m{x}^{m-1}=\prod _{m=1}^M(x-e^{{\lambda }_m})$

Per tant, es poden expressar els 3 passos del método de Prony.

1) Construïxca i resolga l'equació matricial per als valors $P_m$:

$\left[\begin{array}{c}{F}_N\\ :\\ F_{2N-1}\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{ccc}{F}_{N-1}& \mathrm{..}& F_0\\ :& .& :\\ F_{2N-2}& \mathrm{..}& F_{N-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_1\\ :\\ P_M\end{array}\right]$

Notar que si $N$ ≠ $M$ pot ser que es necessite una matriu generalisada per a trobar els valors $P_m$

2) Després de trobar els valors de $P_m$ trobe les raïls del polinomi

$x^M+\sum _{m=1}^M{P}_m{x}^{m-1}=0$

Les $m^{th}$ raïls d'este polinomi seran iguals a $e^{{\lambda }_m}$.

3) En els valors $e^{{\lambda }_m}$, els valors de $F_n$ faran part d'un sistema d'equacions lineares el qual pot ser usat per a trobar els valors de ${\mathrm{B}}_m$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{k_1}\\ :\\ F_{k_M}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}(e^{{\lambda }_1}{)}^{k_1}& \mathrm{..}& (e^{{\lambda }_M}{)}^{k_1}\\ :& .& :\\ (e^{{\lambda }_1}{)}^{k_M}& \mathrm{..}& (e^{{\lambda }_M}{)}^{k_M}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{B}}_1\\ :\\ {\mathrm{B}}_M\end{array}\right]$

a on $M$ valors únics $k_i$ són usats. És possible utilisar una matriu genèrica si s'utilisen més de $M$ mostres.

Referències

• Rob Carriere and Randolph L. Moses, “High Resolution Radar Target Modeling Using a Modified Prony Estimator,” IEEE Trans. Antennas Propogat., vol.40, pp. 13–18, January 1992.
• Hauer, J.F. et al. (1990). "Initial Results in Prony Analysis of Power System Response Signals". IEEE Transactions on Power Systems, 5, 1, 80-89