Matriu triangular

Archiu:Elyona.jpg

Matriu triangular superior. Totes les entrades baixe la diagonal principal són nules

En àlgebra llineal, una matriu triangular és un tipo especial de matriu quadrada els elements de la qual per damunt o per baix de la seua diagonal principal són zero. Degut a que els sistemes d'equacions llineals en matrius triangulars són molt més fàcils de resoldre, les matrius triangulars són utilisades en anàlisis numèric per a resoldre sistemes d'equacions llineals, calcular inverses i determinants de matrius. El método de descomposició LU permet descompondre qualsevol matriu invertible com producte d'una matriu triangular inferior L i una superior O.

Descripció

Una matriu quadrada d'orde n es diu que és triangular superior si és de la forma:

$U=\left[\begin{array}{ccccccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}& .& .& .& u_{1n}\\ 0& u_{22}& u_{23}& .& .& .& u_{2n}\\ 0& 0& u_{33}& .& .& .& u_{3n}\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ 0& 0& 0& .& .& .& u_{nn}\end{array}\right]$

Análogament, es diu que és una matriu triangular inferior una matriu de la forma:

$L=\left[\begin{array}{ccccccc}{l}_{11}& 0& 0& .& .& .& 0\\ l_{21}& l_{22}& 0& .& .& .& 0\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}& .& .& .& 0\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ l_{n1}& l_{n2}& l_{n3}& .& .& .& l_{nn}\end{array}\right]$

Se solen amprar les lletres O i L, respectivament, ya que O és l'inicial de upper triangular matrix i L de lower triangular matrix, els noms que reben estes matrius en anglés.

Eixemples

Esta matriu és triangular superior:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 0& 3& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Esta matriu és triangular inferior:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 8& 0\\ 4& 9& 7\end{array}\right]$

Esta matriu és triangular superior unitària, ya que els elements en la seua diagonal són 1, la matriu triangular inferior unitària és anàloga:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 2& 5& 6\\ 0& 1& 4& 8& -1\\ 0& 0& 1& 4& 3\\ 0& 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Vore també

• Matriu simètrica
• Matriu antisimètrica