Mida progrediente

En teoria de la mida, una mida progrediente (també coneguda com a mida pushforward o mida d'image) s'obté transferint (pushing forward "espentant cap a avant") una mida d'un espai mesurable a un atre utilisant una funció mesurable.

Definició

Donats dos espais mesurables $(X_1,{\Sigma }_1)$ i $(X_2,{\Sigma }_2)$, una aplicació mesurable $f:X_1\to X_2$ i una mida $\mu :{\Sigma }_1\to [0,+\mathrm{\infty }]$, el pushforward ('progressió') de $\mu$ es definix com la mida $f_{*}(\mu ):{\Sigma }_2\to [0,+\mathrm{\infty }]$ donada per

$f_{*}(\mu )(B)=\mu (f^{-1}(B))$ for $B\in {\Sigma }_2.$

Esta definició s'aplica a «mutatis mutandis» per a una mida signada o mida complexa.

La mida progrediente també es denota com $\mu \circ f^{-1}$, $f_{\mathrm{♯}}\mu$, $f\mathrm{♯}\mu$, o $f\mathrm{\#}\mu$.

Propietat principal: fòrmula de canvi de variables

Teorema: Una funció mesurable g en X₂ és integrable sobre la mida progrediente f_∗(μ) si i solament si la composició $g\circ f$ és integrable sobre la mida μ. En eixe cas, les integrals coincidixen, és dir,

$\underset{X_2}{\int }gd(f_{*}\mu )=\underset{X_1}{\int }g\circ fd\mu .$

Tinga's en conte que en la fòrmula anterior $X_1=f^{-1}(X_2)$.

Vore també

• Sistema dinàmic de preservació de mides