Model de Ising

Model de Ising bidimensional mostrat com una ret quadrada de espin en interacció.

El model de Ising és un model físic propost per a estudiar el comportament de materials ferromagnéticos. Es tracta d'un model paradigmàtic de la Mecànica Estadística, en part perque va ser un dels primers en aparéixer, pero sobretot perque és dels pocs models útils (no només pedagógicamente) que té solució analítica exacta (açò és, sense càlculs aproximats). Açò ho fa molt útil per a ensajar nous tipos d'aproximacions i després comparar en el resultat real.

El model de Ising va ser inventat pel físic Wilhelm Lenz (1920), que ho va concebre com un problema per al seu alumne Ernst Ising per a demostrar que el sistema presentava una transició de fase. Ising (1925) va demostrar que en una dimensió no existia tal transició de fase, resolent-ho en la seua tesis de 1924,^[1] encara que li va provocar una profunda desmoralisació i va fer que renunciara a la física estadística. El model bidimensional de Ising de retícula quadrada és molt més difícil, i solament se li va donar una descripció analítica molt més vesprada, per Lars Onsager (1944), que va demostrar que la física estadística era capaç de descriure transicions de fase (puix com es vorà, este model presenta una) lo que va terminar de consolidar definitivament la mecànica estadística. Per lo general, es resol per mig d'un método de transferència de matriu, encara que existixen diferents enfocaments, més relacionats en la teoria quàntica de camps.

Descripció matemàtica del model

Este apartat es llimitarà al model de Ising més conegut i simple, que ademés posseïx solució exacta. Al final es comenten algunes variants.

Descripció qualitativa

Supongam $N$ partícules colocades en una matriu quadrada. Cada partícula pot apuntar només en dos sentits, dalt o avall. Cada una d'eixes orientacions es diuen espin de la partícula. El sentit de l'espin queda determinat per mig de l'interacció de la partícula en les seues veïnes i per fluctuacions tèrmiques.

El hamiltoniano del model

L'energia del sistema és:

$H = \sum_{< i, j >} - J σ_{i} σ_{j}$

a on:

$H$ és el hamiltoniano del sistema,
$\sum_{< i, j >}$ denota una suma sobre partícules veïnes entre sí,
$σ_{i}$ és l'espin de la partícula i-ésima, que pot prendre només dos valors, +1 i -1, i
$J$ és el factor d'escala entre interacció entre espin i energia. És un paràmetro de la teoria.

Per eixemple, supongam que tenim tots els espin apuntant cap a dalt, açò és $σ_{i} = 1$ sempre. En este cas, l'energia total és $- J$ voltes el número diferents parelles de pròxims veïns, que és $2 N$ (es podria pensar que cada espin té quatre espin veïns, pero no devem contar-los dos voltes per tant tenim que dividir per dos). Per tant l'energia del estat fonamental és $H_{0} = - 2 J N$ . El primer estat excitat és que un sol espin apunte cap a avall, en energia $H_{1} = - 2 J N + 8 J$ i aixina successivament.

La funció de partició

El problema es resol simplement calculant la funció de partició (vore Colectiu Canònic):

$Z = \sum_{{σ_{i}}} \prod_{< i, j >} e^{J σ_{i} σ_{j} / k_{B} T}$

a on $\sum_{{σ_{i}}}$ es referix a suma sobre totes les configuracions possibles dels $N$ espin (cridats micro estats).

La física del model

En el model de Ising hi ha en realitat molta física. Passem a revisar-la una miqueta abans de plantejar la solució completa.

La magnetisació

Lo que físicament volem obtindre del model és el seu magnetisació total. Com cada partícula té un espin, quan s'orienten totes cap a dalt, per eixemple, tindrem una magnetisació total $M = N$ (ya que l'espin de cada partícula és 1). Podria ocórrer, pel contrari, que hi haja el mateix número de partícules cap a dalt que cap a avall, en un resultat total llavors de magnetisació nula ( $M = 0$ ). La pregunta que volem respondre és en realitat ¿Quànt val la magnetisació total en funció de la temperatura?.

L'energia no ho és tot

Pensem en el tipo d'interacció que hem introduït. Si dos espin veïns apunten en la mateixa direcció la seua energia mútua és $- J$ , lo que reduïx l'energia del sistema. Per tant, l'interacció que hem posat tendix a fer que els espin apunten en la mateixa direcció, ya que disminuïx l'energia total. Açò lo que fa és favorir l'aparició de la magnetisació total. Podríem pensar que hem resolt ya el problema: la magnetisació té que valdre sempre $M = N$ per a minimisar l'energia i ya està.

No obstant, tenim que recordar que el problema està plantejat en el Colectiu Canònic, açò és, a temperatura i volum constant. En estes condicions, la termodinàmica nos diu que la situació d'equilibri no vindrà donada per un mínim d'energia, sino per un mínim d'energia lliure de Helmholtz, definida per mig de:

$F = U - T S$

a on $U$ és l'energia interna i $T S$ és el producte entre la temperatura i l'entropía.

Energia vs. entropía

El model de Ising és una pugna entre l'energia i com està distribuïda en els graus de llibertat del sistema (vore entropía). Convé en este punt recordar que la entropía és una mida de cuan escampada a través de diferents graus de llibertat es troba l'energia. (vore Mecànica Estadística).

D'esta manera, l'estat fonamental minimisa l'energia $U$ , pero és un estat molt ordenat, en tots els espin apareados. Est és per tant un estat de molt baixa entropía. Si la temperatura és baixa, el producte $T S$ lo és, i a l'energia lliure contribuïx sobretot l'energia: el sistema es magnetizará espontàneament a baixa temperatura.

No obstant quan puja la temperatura la entropía comença a prendre importància en la cantitat $U - T S$ i minimisar $F$ pansa per maximizar la entropía. Justament l'estat més desordenat possible (de major entropía), el que tindrà una energia de Helmholtz menor ( $F$ ), és aquell en la mitat de espin cap a dalt i la mitat cap a avall. Este estat és favorit a alta temperatura: el sistema no es magnetiza a alta temperatura.

La solució exacta nos dirà exactament a quina temperatura escomença a deixar de manar l'energia i ho fa la entropía. Esta és la temperatura crítica, o simplement $T_{c}$

Referències

↑ Ernst Ising, Contribution to the Theory of Ferromagnetism

K. Huang, Statistical mechanics
I. A. Stepanov. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118-122. The paper is on the Journal’s website with a free access.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Modelo de Ising» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Ernst Ising, Contribution to the Theory of Ferromagnetism

[1]