Model de Streeter-Phelps

El model de de Streeter-Phelps és un model matemàtic que relaciona els dos principals mecanismes que definixen l'oxigen dissolt en un caixer d'aigua superficial que rep la descàrrega d'aigües residuals: Descomposició de matèria orgànica, i aireación d'oxigen. Este model ha segut adaptat tant per a fonts puntuals com per a fonts difusas o disperses.^[1]

Història

La forma inicial del model de Streeter-Phelps va ser proposta en 1925 per Harold Warner Streeter i Earle Bernard Phelps (1876-1953) a partir d'un estudi del procés d'oxidació i aireación en el Riu Ohio en els Estats Units en base en senyes obtingudes des de maig de 1914 a abril de 1915.^[2]

Posteriorment atres versions del model més complexes varen ser desenrollades despuix dels xixanta gràcies a la possibilitat de realisar solucions computacionals, que varen introduir en el model processos com fotosíntesis, respiració i demanda béntica d'oxigen.

Descripció

La forma diferencial de la forma clàssica del model de Streeter-Phelps descriu el canvi de la concentració de matèria orgànica i del dèficit d'oxigen dissolt que és la diferència entre l'oxigen de saturació en un lloc i oxigen dissolt en eixe mateix lloc.

${\begin{matrix} V \frac{d L}{d t} = - k_{d} V L \\ V \frac{d D}{d t} = k_{d} V L - k_{a} V D \end{matrix}$

a on:

$k_{d}$ és la taxa de consum d'oxigen per degradació de DBO en $[d^{- 1}]$ .
$k_{a}$ és la taxa de aireación d'oxigen en el cos d'aigua $[d^{- 1}]$ .
$L$ és la DBO de la matèria orgànica en l'aigua en $[m g \cdot L^{- 1}]$ .
$D$ és el dèficit d'oxigen en $[m g \cdot L^{- 1}]$ .

la solució d'este sistema d'equacions diferencials ordinàries per a condicions inicials de $L$ i $D$ de $L_{0}$ i $D_{0}$ respectivament es té:

${\begin{matrix} L = L_{0} e^{- k_{d} t} \\ D = \frac{k_{d} L_{0}}{k_{a} - k_{d}} (e^{- k_{d} t} - e^{- k_{a} t}) + D_{0} e^{- k_{a} t} \end{matrix}$

Fonts Puntuals en Estat Permanent

En condicions de temps permanent el cabal, velocitat i profunditat del caixer són permanents en cada posició, aixina com les descàrregues que en este es realisen, baix estes condicions la velocitat, posició i temps es relacionen per mig de l'equació:

$U = \frac{x}{t}$

Adicionalment si es considera exclusivament la condició de fluix piston en la qual no hi ha efectes de dispersió a lo llarc del caixer el model de Streeter-Phelps es convertix en:

${\begin{matrix} 0 = - U \frac{d L}{d x} - k_{d} L \\ 0 = - U \frac{d D}{d x} - k_{d} L + k_{a} D \end{matrix}$

a on:

$U$ és la velocitat del caixer $[m \cdot s^{- 1}]$ .
$x$ és la distància des de la descàrrega $[m]$ .
$t$ és el temps transcorregut des de la descàrrega $[s]$ .

la solució d'este sistema d'equacions diferencials ordinàries per a condicions inicials de $L$ i $D$ de $L_{0}$ i $D_{0}$ respectivament es té:

${\begin{matrix} L = L_{0} e^{\frac{- k_{d} x}{U}} \\ D = \frac{k_{d} L_{0}}{k_{a} - k_{d}} (e^{\frac{- k_{d} x}{U}} - e^{\frac{- k_{a} x}{U}}) + D_{0} e^{\frac{- k_{a} x}{U}} \end{matrix}$

La solució del model de Streeter-Phelps per a valors específics de les condicions inicials de dèficit d'oxigen i concentració de DBO i les constants de degradació de la matèria orgànica i de aireación d'oxigen en el cos d'aigua és com es mostra en la figura.

Entre els comportaments de la solució del model de Streeter-Phelps es destaca que l'efecte combinat de la decaiguda i la aireación genera un punt de pandeo, cridat punt crític en el qual la concentració d'oxigen és mínima.

Fonts Difusas en Estat Permanent

El model de Streeter-Phelps també ha segut adaptat per a modelar l'efecte de descàrregues difusas a lo llarc d'un tram del caixer.

En el primer conjunt d'equacions segons pareix hi ha un error, puix deu tindre els mateixos signes que el segon conjunt d'equacions. S'ha fet la simulació i efectivament, el segon conjunt d'equacions si reproduïx adequadament les curves simulades.

Referències

↑ Chapra, Steven (1997). Surface Water Quality Modeling, 1 edició (en anglés), McGraw-Hill. ISBN 0-07-115242-3.
↑ (1925).Health Bulletin.Public Health Service.(146)

Este artícul conté una traducció derivada de «Modelo de Streeter-Phelps» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[chapra-1] Chapra, Steven (1997). Surface Water Quality Modeling, 1 edició (en anglés), McGraw-Hill. ISBN 0-07-115242-3.

[streeter-2] (1925).Health Bulletin.Public Health Service.(146)

[1]

[2]