Model exponencial

El model exponencial és un model demogràfic i ecològic per a modelizar el creiximent de les poblacions i la difusió epidémica d'una traça entre una població, basat en el creiximent exponencial.

Descripció del model

Siga P(t) el tamany de la població al temps t, el model exponencial presupon que la taxa d'aument de la població és proporcional a la població en l'instant:

A on k és una constant de proporcionalitat i P és el tamany de la població en l'instant t. Eixa equació (1) pot resultar adequada quan el tamany de la població és chicotet en relació en les dimensions de l'ecosistema, i en eixe case k és la taxa d'aument de la població que iguala a la taxa de natalitat menys la taxa de mortalitat.

Si el tamany de la població en un instant t₀ és P₀, el model exponencial prediu que en qualsevol atre instant futur (t > t₀) la població ve donada, per la solució de l'equació diferencial (1):

Refinament del model

Quan la població el creiximent de la qual pretén ser estudiat per mig del model exponencial alcança un cert tamany en relació en l'ambient ecològic a on es desenrolla la població, el model exponencial pot deixar de ser adequat perque els factors limitantes del creiximents com l'escassea de recursos reduïxen la taxa d'increment de la població.

En eixos casos resulta adequat introduir un terme que de conte de la capacitat de l'ecosistema per a sostindre una gran població. El model resultant cridat model llogístic està basat en la curva llogística o curva en forma de "S". Este model és adequat per a descriure el creiximent d'una població de persones tant com el de bactèrias en un cultiu o la forma en que es propaga una epidèmia. No obstant, si es prenen en conte factors ambientals que reduïxen la taxa de creiximent de la població, el tamany de dita població x(t) estarà llimitada a un cert número màxim de K, tal que:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{dx}{dt}=K(0\le x(t)\le K)$

O siga que la velocitat de creiximent és proporcional al producte del tamany de la població x(t) i la diferencia K - x(t):

$\frac{dx}{dt}=rx(t)[1-x(t)/K](2)$

La solució d'esta equació diferencial (2) és:

$x(t)=\frac{K{x}_0{e}^{rt}}{K+x_0(e^{rt}-1)}$

Vore també

• Creiximent exponencial
• Creiximent llogístic