Número de Munchausen

El Baró de Münchhausen, elevant-se a sí mateix i al seu cavall tirant de la seua pròpia coleta

En teoria de números, un invariante perfecte dígit a dígit (PDDI per les sigles del terme anglés "perfect digit-to-digit invariant"; també conegut com a número de Munchausen) és un número natural en una base $b$ donada que és igual a la suma dels seus dígits, cada u elevat a una potència igual a sí mateixa.

Un eixemple en base 10 és 3435, perque:   $3435=3^3+4^4+3^3+5^5$.

El terme "número de Munchausen" va ser falcat pel matemàtic i ingenier de software holandés Daan van Berkel en 2009, ya que evoca l'història del Baró de Münchhausen que s'alçava del sol tirant de la seua pròpia coleta, lo que servix de referència a que cada dígit es deu elevar a una potència igual a sí mateixa.

Definició

Siga $n$ un número natural que es pot escriure en base $b$ com el número de k dígits $d_{k-1}{d}_{k-2}\mathrm{...}{d}_1{d}_0$ a on cada dígit $d_i$ està entre $0$ i $b-1$ inclusivament, i $n=\sum _{i=0}^{k-1}{d}_i{b}^i$. Es definix la funció $F_b:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ com $F_b(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_i}^{d_i}$.

Com 0⁰ no sempre està definit, s'usen dos convencions, una en la que es considera que és igual a un i una atra en la que es considera que és igual a zero.

Un número natural $n$ es definix com un invariante perfecte dígit a dígit en base b si $F_b(n)=n$. Per eixemple, el número 3435 és un invariante perfecte de dígit a dígit en base 10 perque $3^3+4^4+3^3+5^5=27+256+27+3125=3435$

$F_b(1)=1$ para tot $b$, i per lo tant 1 és un invariante perfecte dígit a dígit "trivial" en totes les bases, i tots els demés invariantes dígit a dígit perfectes són "no trivials". Per a la segona convenció a on $0^0=0$, tant $0$ com $1$ són invariantes perfectes de dígit a dígit trivials.

Un número natural $n$ és un invariante dígit a dígit sociable si és un punt periòdic para $F_b$, a on $F_b^k(n)=n$ per a un sancer positiu $k$, i forma un cicle de periodo $k$. Un invariante perfecte dígit a dígit és un invariante sociable dígit a dígit en $k=1$. Un invariante dígit a dígit amistós és un invariante dígit a dígit sociable en $k=2$.

Tots els número natural $n$ són punts preperiódicos para $F_b$, independentment de la base. Açò es deu a que tots els número natural de base $b$ en $k$ dígits satisfan que $b^{k-1}\le n\le (k){(b-1)}^{b-1}$. No obstant, quan $k\ge b+1$, $b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}$, per lo que qualsevol $n$ satisfarà a $n>F_b(n)$ fins a $n<b^{b+1}$.

Hi ha un número finito d'número natural menor que $b^{b+1}$, per lo que es garantisa que el número alcançarà un punt periòdic o un punt fix menor que $b^{b+1}$, convertint-ho en un punt preperiódico. Açò també significa que hi ha un número finito de invariantes dígit a dígit perfectes i cicles per a qualsevol base donada $b$.

El número de iteraciones $i$ necessàries per a que $F_b^i(n)$ alcanç un punt fix és la funció de persistència $b$-factorión de $n$, i indefinit si mai aplega a un punt fix.

Invariantes i cicles perfectes dígit a dígit de F_b per a b específica

Tots els números estan representats en la base $b$.

Convenció 0⁰ = 1

Base	Invariantes dígit a dígit perfectes no trivials ($n\ne 1$)	Cicles
2	10	$\varnothing$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	131, 313	2 → 10 → 2
5	$\varnothing$	2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2 104 → 2013 → 113 → 104
6	22352, 23452	4 → 1104 → 1111 → 4 23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445
7	13454	12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066
8		405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405
9	31, 156262, 1656547
10	3435
11
12	3A67A54832

Convenció 0⁰ = 0

Base	Invariantes dígit a dígit perfectes no trivials ($n\ne 0$, $n\ne 1$)	Cicles
2	$\varnothing$	$\varnothing$
3	12, 22	2 → 11 → 2
4	130, 131, 313	$\varnothing$
5	103, 2024	2 → 4 → 2011 → 11 → 2 9 → 2012 → 9
6	22352, 23452	5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5 53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53
7	13454
8	400, 401
9	30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084
10	3435, 438579088
11	$\varnothing$	$\varnothing$
12	3A67A54832